В этой статье я хочу привести несколько полезных формул, которые помогают легко найти радиус вписанной и описанной окружности, и показать решение задачи из задания С4 с использованием этих формул.
1. Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности:
. где 
, r - радиус вписанной окружности.
Отсюда: 
То есть радиус вписанной окружности равен отношению площади треугольника к его полупериметру.
Для прямоугольного треугольника , 
, тогда
где 
и 
- катеты треугольника, а 
- гипотенуза.
2. Площадь треугольника равна отношению произведения его сторон к учетверенному радиусу описанной окружности:
Отсюда:
Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению произведения сторон треугольника к его учетверенной площади.
3. По теореме синусов, отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно двум радиусам описанной окружности:
Отсюда:
Радиус окружности, описанной около треугольника, равен отношению стороны треугольника к удвоенному синусу противолежащего угла.
Предлагаю вам посмотреть ВИДЕОРЕШЕНИЕ задачи:
Угол при основании равнобедренного треугольника равен 
. Найдите отношение радиуса вписанной в этот треугольник окружности к радиусу описанной окружности:
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Здравствуйте!
Подскажите, пожалуйста, как решить такую задачу:
Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и через нее проведены три прямые, параллельные сторонам треугольника. Эти прямые делят треугольник ABC на шесть частей, три из которых являются треугольниками. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны r1, r2 и r3. Найдите радиус окружности, вписанный в треугольник ABC.
Вапсче нипанимаю ету матиматеку!!!
Прошу рассмотреть такую задачу: по известным радиусам вписанной и описанной окружности и одной высоте найти стороны и углы треугольника