Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
06 Апр 2012
ВИДЕОУРОКИФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Преобразование графиков функций

Преобразование графиков функций

В этой статье я  познакомлю вас с линейными преобразованиями графиков функций и покажу, как с помощью этих преобразований из графика функции y=sqrt{x} получить график функции y=delim{|}{2-3sqrt{delim{|}{{1/2}x+2}{|}}}{|}

Линейным преобразованием функции y=f(x) называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду y= Af(kx+b)+D, а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.

Наибольшие затруднения при построении графиков с помощью линейных преобразований вызывают следующие действия:

  1.  Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы и преобразовываем.
  2. Определения порядка преобразований.

Именно на этих моментах мы и остановимся подробнее.

Рассмотрим внимательно функцию

y=delim{|}{2-3sqrt{delim{|}{{1/2}x+2}{|}}}{|}

В ее основе лежит функция f(x)=sqrt{x}. Назовем ее базовой функцией.

При построении графика функции y=delim{|}{2-3sqrt{delim{|}{{1/2}x+2}{|}}}{|} мы совершаем преобразования графика базовой функции  f(x)=sqrt{x}.

Если бы  мы совершали преобразования функции y=delim{|}{2-3sqrt{delim{|}{{1/2}x+2}{|}}}{|}  в том же порядке , в каком находили ее значение  при определенном значении аргумента, то

  • сначала мы бы нашли значение выражения, стоящего под знаком корня: delim{|}{{1/2}x+2}{|}. Обозначим это выражение g(x)=delim{|}{{1/2}x+2}{|}. Назовем преобразование g(x) внутренним преобразованием, или преобразованием аргумента.
  • затем мы бы нашли значение  базовой функции f(x)=sqrt{x} в этой точке: f(g(x))=sqrt{g(x)}
  • после этого мы бы совершили преобразование самой функции: y=delim{|}{2-3f{(g(x))}}{|}. Назовем его внешним преобразованием, или преобразованием функции.

Рассмотрим какие виды линейных преобразований аргумента и функции существуют, и как их выполнять.

Преобразования аргумента.

1. f(x) right f(x+b)

1. Строим график фунции y=f(x)

2. Сдвигаем график фунции y=f(x) вдоль оси ОХ на  |b| единиц

  •   влево, если b>0
  •   вправо, если b<0

Построим график функции  y=sqrt{x-2}

1. Строим график функции y=sqrt{x}

2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:

2. f(x) right f(kx)

1. Строим график фунции y=f(x)

2. Абсциссы точек графика y=f(x) делим на к, ординаты точек оставляем без изменений.

Построим график функции  y=sqrt{2x}.

1. Строим график функции y=sqrt{x}

2. Все абсциссы точек графика y=sqrt{2x} делим на 2, ординаты оставляем без изменений:

3. f(x) right f(-x)

1. Строим график фунции y=f(x)

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY.

 

Построим график функции  y=sqrt{-x}.

1. Строим график функции y=sqrt{x}

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY:

4.  f(x) right f(|x|)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную левее оси ОY стираем, часть графика, расположенную правее оси ОY Достраиваем симметрично относительно оси OY:

График функции  y=sqrt{delim{|}{x}{|}} выглядит так:

Построим график функции y=sqrt{delim{|}{x}{|}+2}

1. Строим график функции y=sqrt{x+2} (это график функции y=sqrt{x}, смещенный вдоль оси ОХ на 2 единицы влево):

2. Часть графика, расположенную левее оси OY (x<0) стираем:

3. Часть графика, расположенную правее оси OY (x>0) достраиваем симметрично относительно оси OY:

Важно! Два главных правила преобразования аргумента.

1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ

2. Все преобразования аргумента совершаются "наоборот" и "в обратном порядке".

Например, в функции y=sqrt{delim{|}{x}{|}+2}  последовательность преобразований аргумента такая:

1. Берем модуль от х.

2. К модулю х прибавляем число 2.

Но построение графика мы совершали в обратном порядке:

Сначала выполнили преобразование 2. - сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы "наоборот")

Затем выполнили преобразование f(x) right f(|x|).

Коротко последовательность преобразований записывается так:


Теперь поговорим о преобразовании функции. Преобразования  совершаются

1. Вдоль оси OY.

2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.

Вот эти преобразования:

1. f(x)rightf(x)+D

1. Строим график функции y=f(x)

2.  Смещаем его  вдоль оси OY  на |D| единиц

  • вверх, если D>0
  • вниз, если D<0

 

Построим график функции y=sqrt{x}+2

1. Строим график функции y=sqrt{x}

2. Смещаем его вдоль оси OY на 2 единицы вверх:

 

2. f(x)rightAf(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Ординаты всех точек графика умножаем на А, абсциссы оставляем без изменений.

 

Построим график функции y=2sqrt{x}

1. Построим график функции y=sqrt{x}

2. Ординаты всех точек графика умножим на 2:

3. f(x)right-f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

 

Построим график функции y=-sqrt{x}.

1. Строим график функции y=sqrt{x}.

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

 

4. f(x)right|f(x)|

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси OX, отображаем симметрично относительно этой оси.

 

Построим график функции  y=delim{|}{sqrt{x}-2}{|}

1. Строим график функции y=sqrt{x}-2. Он получается смещением графика функции   y=sqrt{x} вдоль оси OY на 2 единицы вниз:

2. Теперь часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

 

И последнее преобразование, которое, строго говоря, нельзя назвать преобразованием функции, поскольку результат этого преобразования функцией уже не является:

y=f(x) right |y|=f(x)

1. Строим график функции y=f(x)

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем, затем часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

Построим график  уравнения  delim{|}y{|}=sqrt{x}-2

1. Строим график функции   y=sqrt{x}-2:

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем:

3. Часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

 

И, наконец,  предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК в котором я показываю пошаговый алгоритм построения графика функции

y=delim{|}{2-3sqrt{delim{|}{{1/2}x+2}{|}}}{|}

График этой функции выглядит так:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Преобразование графиков функций
| Отзывов (28) | Метки:

Отзывов (28)

Следующие комментарии →
  1. Мария
    в 13:40

    |х^2 -3|х| -4|=а при каком наибольшем значении а уравнение имеет только четыре корня?
    помогите пожалуйста с решением.заранее благодарна
    Ответить
  2. Максим
    в 09:59

    Ооочень полезная статья. Спасибо!
    Ответить
  3. arailym
    в 04:09

    у вас в преобразованиях аргумента 3-пункт повторяется дважды
    Ответить
    • Инна
      в 04:16

      Спасибо.
      Ответить
  4. Надежда
    в 18:32

    Здравствуйте Инна! Как находятся точки пересечения графика функции с осями координат(с осью абсцисс и осью ординат?Ответ интересует чисто теоретический без решения задач.Заранее спасибо за ответ!
    Ответить
    • Инна
      в 12:28

      Ординаты точек, находящихся на оси ОХ равны нулю. Поэтому, чтобы найти точки пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить 0, и решить уравнение. так мы найдем абсциссы точек пересечения графика с осью ОХ.
      Соответственно, абсциссы точек, лежащих на оси ОУ равны нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОУ (она одна), нужно в уравнение функции вместо х подставить 0, так мы найдем ординату точки пересечения графика с осью ОУ.
      Ответить
  5. Татьяна
    в 06:45

    Как построить график y= корень 4 степени из(x^2-6|x|+9) -возле 6 х с модулем.
    Ответить
    • Инна
      в 07:02

      x^2=|x|^2
      Под корнем полный квадрат.
      корень 4 степени из(x^2-6|x|+9)= корень 4 степени из (|x|-3)^2=корень 2 степени из ||x|-3|
      Дальше базовая функция y=sqrt(x)
      1. |x| — модуль аргумента
      2. |x|-3 сдвигаем на 3 ед вправо
      3. ||x|-3| — модуль аргумента
      Преобразования выполняем в обратном порядке
      Ответить
      • Татьяна
        в 07:28

        Спасибо!
        Ответить
  6. Ольга
    в 06:54

    Расскажите, пожалуйста, подробно, как построить график функции У= Х2 – 6 │Х│ + 2Х Спасибо.
    Ответить
    • Инна
      в 08:58

      Нужно раскрыть модуль: рассмотреть два случая: x>=0 и х меньше 0. На каждом промежутке получится своя функция, график которой надо построить на этом промежутке.
      Ответить
  7. Алла
    в 19:15

    Y=корень из 8-x построить график
    Ответить
    • Инна
      в 16:24

      1. у=√x
      2. у=√x+8 — сдвинуть на 8 ед. влево
      3. у=√-x+8 — отобразить симметрично относительно оси ОУ
      Ответить
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *