Решение логарифмических неравенств с переменным основанием.
В этой статье мы поговорим о том, как решать логарифмические неравенства, которые содержат неизвестную величину в основании логарифма.
Как мы помним, при решении логарифмических неравенств, мы сравниваем основание логарифма с единицей. Если в основании логарифма стоит выражение, зависящее от неизвестного, то нам надо рассмотреть два случая: когда это выражение больше единицы, и когда оно принимает значение от нуля до единицы.
Но есть и более простой способ.
Рассмотрим решение логарифмического неравенства с переменным основанием в общем виде.
Пусть неравенство имеет вид
Мы помним, что
Если основание логарифма больше единицы (p(x)>1), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется.
Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0<p(x)<1), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный.
Чтобы не рассматривать эти два случае по отдельности, давайте запишем переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма в таком виде:
Знак первого множителя в этом произведении определяет знак второго множителя:
если p(x)>1, то f(x)>g(x) - знак неравенства сохраняется
если 0<p(x)<1, то f(x)<g(x) - знак неравенства меняется на противоположный.
Тогда, с учетом ОДЗ, исходное неравенство
будет равносильно системе:
Последние четыре неравенства системы - ОДЗ исходного неравенства.
Решим, для примера, такое неравенство:
Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию
Получим неравенство:
Перейдем к равносильной системе неравенств:
Решим каждое неравенство системы по отдельности, на своей координатной прямой.
Сначала преобразуем первое неравенство системы к виду
и решим это неравенство методом интервалов.
Корни квадратного трехчлена в первых скобках:
,
Корни квадратного трехчлена во вторых скобках:
, .
Нанесем эти корни на координатную прямую и расставим знаки:
Решение второго неравенства системы:
Решение третьего неравенства:
Теперь совместим решение всех неравенств на одной координатной прямой:
Нас интересует промежуток, над которым проходит три стрелки.
Ответ: .
А теперь я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я объясняю решение логарифмического неравенства с переменным основанием и с модулем в выражении, стоящем под знаком логарифма:
У меня возник вопрос, почему вы не учитывали в ОДЗ, что число, которое получится при возведении основания в степень(то есть где выражение с модулями)не должно быть строго больше нуля??? Прошу ответить
число, которое получится при возведении основания в степень(то есть где выражение с модулями) — что это за число?
Благодарю от всей души,здесь есть чему научиться))
Почти в восторге от вашего сайта, побольше материалов — цены ему не будет. И Вам, конечно 🙂 Спасибо огромное!
На все нужно время )
Удивляюсь, почему в школьную программу не включают метод решения и лог. и пок. неравенств методом рационализации.Конечно, два случая рассматривать, когда основание больше 1; и меньше 1, но больше 0 не очень удобно и долго… Я слышала, что не все даже члены комиссии знакомы с этим методом. Спасибо, Инна Владимировна, за доступное решение задачи.
Элла, не поверишь, в обычных классах не проходят решение неравенств с переменным основанием.
Здравствуйте, не могу понять, почему Вы сначала пишите корни первого трёхчлена с цифрой -1 ((-1+/-корень13)/2), а на числовой прямой отмечаете эти же корни с цифрой -3 ((-3+/-корень13)/2) ???
Опечатка, правильно -3+/-…
Здравствуйте! Знаю, что глупый вопрос, но никак не могу понять —
как определили, что 0 < x^2 + 3x < 1 ?
А откуда вы взяли это неравенство?
Если модуль в основании логарифма он не равен нулю и 1?
Да.