Решение логарифмических неравенств с переменным основанием

Решение логарифмических неравенств с переменным основанием.

В этой статье мы поговорим о том, как решать логарифмические неравенства, которые содержат неизвестную величину в основании логарифма.

Как мы помним, при решении логарифмических неравенств, мы сравниваем основание логарифма с единицей. Если в основании логарифма стоит выражение, зависящее от неизвестного, то нам надо рассмотреть два случая: когда это выражение больше единицы, и когда оно принимает значение от нуля до единицы.

Но есть и более простой способ.

Рассмотрим решение логарифмического неравенства с переменным основанием в общем виде.

Пусть неравенство имеет вид

Мы помним, что

Если основание логарифма больше единицы (p(x)>1), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства сохраняется.

Если основание логарифма больше нуля и меньше единицы (0<p(x)<1), то при переходе от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма, знак неравенства меняется на противоположный.

Чтобы не рассматривать эти два случае по отдельности, давайте запишем переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифма в таком виде:

Знак первого множителя в этом произведении определяет знак второго множителя:

если p(x)>1,  то f(x)>g(x) - знак неравенства сохраняется

если 0<p(x)<1, то f(x)<g(x) - знак неравенства меняется на противоположный.

Тогда, с учетом ОДЗ, исходное неравенство

будет равносильно системе:

Последние четыре неравенства системы - ОДЗ исходного неравенства.

Решим, для примера, такое неравенство: 

Представим правую часть неравенства в виде логарифма по основанию 

Получим неравенство:

Перейдем к равносильной системе неравенств:

Решим каждое неравенство системы по отдельности, на своей координатной прямой.

Сначала преобразуем первое неравенство системы к виду

и решим это неравенство методом интервалов.

Корни квадратного трехчлена в первых скобках:

,   

Корни квадратного трехчлена во вторых скобках:

,   .

Нанесем эти корни на координатную прямую и расставим знаки:

Решение второго неравенства системы:

Решение третьего неравенства: 

Теперь совместим решение всех неравенств на одной координатной прямой:

Нас интересует промежуток, над которым проходит три стрелки.

Ответ:  .

А теперь я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я объясняю решение логарифмического неравенства с переменным основанием и с модулем в выражении, стоящем под знаком логарифма:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.