Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
02 Май 2012
ВИДЕОУРОКИТРИГОНОМЕТРИЯ

Обратные тригонометрические функции

Обратные тригонометрические функции.

При решении простейших тригонометрических уравнений появляется необходимость по значению тригонометрической функции определить значение угла. Мы это делаем с помощью обратных тригонометрических функций.

В этой статье я разберу несколько задач, для успешного решений которых нужно очень хорошо понимать обратные тригонометрические функции.

Для начала, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК, в котором я объясняю, что такое  обратные тригонометрические функции:

 

Продолжение:

Итак:

Арксинусом числа а (arcsin{a}), где {a}{in}[-1;1] называется число {x}{in}[-{pi}/2;{pi}/2], синус которого равен a:

arcsin{a}=x:  sin {x}=a, x{in}{[-{pi}/2;{pi}/2]}

Арккосинусом числа а (arccos{a}), где {a}{in}[-1;1] называется число {x}{in}[0;{pi}], косинус которого равен a:

arccos{a}=x:  cos {x}=a, x{in}{[0;{pi}]}

Арктангенсом числа а (arctg{a}), где {a}{in}{bbR} называется число {x}{in}({-{pi}/2;{pi}/2}), тангенс которого равен a:

arctg{a}=x:  tg {x}=a, x{in}({-{pi}/2;{pi}/2})

 

Арккотангенсом числа а (arcctg{a}), где {a}{in}{bbR} называется число {x}{in}{(}({0;{pi}}), котангенс которого равен a:

arcctg{a}=x: ctg {x}=a, x{in}{(0;{pi})}

Решим несколько задач.

1. Найти значение выражения sin(2{arccos{3/5}})

Обозначим y={arccos{3/5}}. По определению арккосинуса, y - это число из промежутка [0;{pi}], косинус которого равен 3/5.

То есть нам известно, что cos{y}=3/5, и нам надо найти sin{2y}.

sin{2y}=2sin{y}cos{y}.

Значение cos{y}=3/5.  С помощью основного тригонометрического тождества  найдем значение .

sin^2{y}=1-cos^2{y}=1-9/{25}={16)/{25}. Т.к. y{in}[0;{pi}], sin{y}>=0, значит sin{y}=4/5.

Отсюда: sin{2y}=2*{4/5}*{3/5}={24}/{25}=0,96

Ответ: 0,96

2. Найти значение выражения sin(arcctg({-sqrt{8}}))

Обозначим y=arcctg({-sqrt{8}}). По определению арккотангенса, y - число из промежутка {(0;{pi})}, котангенс которого равен {-sqrt{8}}.

То есть нам известно, что ctg{y}={-sqrt{8}}, и нам надо найти значение sin {y}.

Т. к. ctg{y}<0, значит, с учетом условия, y{in}({{pi}/2;{pi}}) и sin {y}>0 

sin^2{y}=1/{1+ctg^2{y}}=1/9

sin {y}=1/3

Ответ: 1/3

 

3. Найти значение выражения: cos(arctg({-1/4})-{3{pi}}/2)

Обозначим y=arctg({-1/4}). y - это число из промежутка ({-{pi}}/2;{pi}/2), тангенс которого равен -1/4. То есть tg{y}=-1/4, и нам надо найти значение cos({y-{3pi}/2}).

Если tg{y}<0, значит, y{in}({-{pi}/2;0})

По формуле приведения 

sin^2{y}=1/{1+ctg^2{y}}=1/{1+{16}}=1/{17} (ctg{y}=1/{tg{y}})

sin{y}<0  при y{in}({-{pi}/2;0}), следовательно, -sin{y}=-({-sqrt{1/{17}}})={sqrt{17}}/{17}

Ответ: {sqrt{17}}/{17}

 

4. Найти значение угла (в градусах) arcsin(sin(490^{circ}))

Важно помнить, что arcsin{a} принимает значения в промежутке delim{[}{-{pi}/2;{pi}/2}{]}

Нанесем точку, соответвующую углу поворота на 490° на единичную окружность:

490°=360°+130°.  Нас интересует угол из промежутка  [-90°, 90°], синус которого равен sin(130°). Это угол 50°:

 

Ответ: 50°

И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1"

Для вас другие записи этой рубрики:

Обратные тригонометрические функции
| Один отзыв

Один отзыв

  1. Дамегуль
    в 08:08

    спасибо очень внятно
    Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *