Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
14 Фев 2013
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Разложение многочлена на множители. Часть 1

Разложение многочлена на множители. Часть 1

Разложение на множители - это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль - попробовать  разложить левую часть на множители.

Перечислим основные  способы разложения многочлена на множители:

  • вынесение общего множителя за скобку
  • использование формул сокращенного умножения
  • по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
  • способ группировки
  • деление многочлена на двучлен
  • метод неопределенных коэффициентов
В этой статье мы остановимся подробно на первых трех способах, остальные рассмотрим в следующих статьях.
1. Вынесение общего множителя за скобку.
Чтобы вынести за скобку общий множитель надо сначала его найти. Коэффициент общего множителя равен наибольшему общему делителю всех коэффициентов.
Буквенная часть общего множителя равна произведению выражений, входящих в состав каждого слагаемого с наименьшим показателем степени.
Схема вынесения общего множителя выглядит так:

Внимание!
Количество членов в скобках равно количеству слагаемых в исходном выражении. Если одно из слагаемых совпадает с общим множителем, то при его делении на общий множитель, получаем единицу.

Пример 1.

Разложить на множители многочлен:  20x^4y^3+35x^3y^3z-15x^2y^4

Вынесем за скобки общий множитель. Для этого сначала его найдем.

1.Находим наибольший общий делитель всех коэффициентов многочлена, т.е. чисел 20, 35 и 15. Он равен 5.

2. Устанавливаем, что переменная x содержится во всех слагаемых, причем наименьший из её показателей степени равен 2. Переменная y содержится во всех слагаемых, и наименьший из её показателей степени равен 3.

Переменная z содержится только во втором слагаемом, поэтому она не входит в состав общего множителя.

Итак, общий множитель равен 5x^2y^3

3. Выносим за скобки множитель 5x^2y^3 пользуясь схемой, приведенной выше:

20x^4y^3+35x^3y^3z-15x^2y^4=5x^2y^3*({20x^4y^3}/{5x^2y^3}+{35x^3y^3z}/{5x^2y^3}-{15x^2y^4}/{5x^2y^3})=5x^2y^3(4x^2+7xyz-3y)

 

Пример 2. Решить уравнение: (x-2)^2(x-8)+(x-2)^4=0

Решение. Разложим левую часть уравнения на множители. Вынесем за скобки множитель (x-2)^2 :

(x-2)^2({(x-2)^2(x-8)}/{(x-2)^2}+{(x-2)^4}/{(x-2)^2})=(x-2)^2(x-8+(x-2)^2)=(x-2)^2(x-8+x^2-4x+4)=(x-2)^2(x^2-3x-4)

Итак, получили уравнение (x-2)^2(x^2-3x-4)=0

Приравняем каждый множитель к нулю:

(x-2)^2=0 или x^2-3x-4=0

Получаем x=2 -   корень первого уравнения.

Корни квадратного уравнения  :

x=-1 или x=4

Ответ: -1, 2, 4

 

2. Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения.

Если  количество слагаемых в многочлене, который мы собираемся разложить на множители меньше или равно трех, то мы пытаемся применить формулы сокращенного умножения.

1. Если многочлен представляет собой разность двух слагаемых, то пытаемся применить формулу разности квадратов:

   

или формулу разности кубов:

   

Здесь буквы и обозначают  число или алгебраическое выражение.

2. Если многочлен представляет собой сумму двух слагаемых, то, возможно, его можно разложить на множители с помощью формулы суммы кубов:

   

3. Если многочлен состоит из трех слагаемых, то пытаемся применить формулу квадрата суммы:

   

или формулу квадрата разности:

 

   

 

Или пытаемся разложить на множители по формуле разложения на множители квадратного трехчлена:

ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

Здесь x_1 и x_2 - корни квадратного уравнения ax^2+bx+c=0

Пример 3.  Разложить на множители выражение: 8a^3+27b^3

Решение. Перед нами сумма двух слагаемых. Попытаемся применить формулу суммы кубов. Для этого нужно сначала каждое слагаемое представить в виде куба какого-то выражения, а затем применить формулу для суммы кубов:
8a^3+27b^3=(2a)^3+(3b)^3=(2a+3b)*((2a)^2-(2a)*(3b)+(3b)^2)=(2a+3b)(4a^2-6ab+9b^2)
Пример 4. Разложить на множители выражение: (3x-2y)^2-(2x-3y)^2
Рещение. Перед нами разность квадратов  двух выражений. Первое выражение: (3x-2y), второе выражение: (2x-3y)
Применим формулу для разности квадратов:
(3x-2y)^2-(2x-3y)^2=((3x-2y)+(2x-3y))*((3x-2y)-(2x-3y))=
Раскроем скобки и приведем подобные члены, получим:
=(5x-5y)*(x+y)=5(x-y)*(x+y)
Пример 5. Разложить на множители выражение: 25x^2+16y^2-40xy
Решение. Перед нами  многочлен, состоящий из трех слагаемых. Заметим, что 25x^2=(5x)^2; 16y^2=(4y)^2; 40xy=2*(5x)*(4y)
 Так как перед удвоенным произведением стоит знак "минус", воспользуемся формулой для квадрата разности:
25x^2+16y^2-40xy=(5x)^2-2*(5x)*(4y)+(4y)^2=(5x-4y)^2
Внимание!  Коэффициенты обоих членов трехчлена, которые являются квадратами одночленов, положительны.
Пример 6. Разложить на множители квадратный трехчлен 3y^2+2y-1
Приготовим для разложения квадратного трехчлена готовую форму:
3y^2+2y-1=3(x-())*(x-())
Найдем корни квадратного уравнения: так для коэффициентов квадратного трехчлена выполняется сооотношение , следовательно,x_1=-1,  x_2=1/3
Впишем значения корней в готовую форму:
3y^2+2y-1=3(x-())*(x-())=3(x-(-1))*(x-(1/3))=3(x+1)(x-1/3)
Внесем множитель 3 во вторую скобку:
3(x+1)(x-1/3)=(x+1)(3x-1)
Итак:
3y^2+2y-1=(x+1)(3x-1)

Для вас другие записи этой рубрики:

Разложение многочлена на множители. Часть 1
| Отзывов (75)

Отзывов (75)

← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →
  1. Мадина
    в 14:45

    помогите пожалуйста разложить многочлен на множители
    25-(3-х)^2
    Ответить
    • Инна
      в 14:51

      25-(3-х)^2=5^2-(3-х)^2
      Дальше по формуле разности квадратов
      5^2-(3-х)^2=(5-(3-х))(5+(3-х))
      Ответить
      • Мадина
        в 15:35

        Спасибо огромное!
        Ответить
  2. Елена
    в 08:12

    Решите уравнение x^2+x-6=0, разложив его левую часть на множители с помощью выделения квадрата двухчлена и применив формулу разности квадратов двух
    выражений. Помогите пожалуйста решить без применения дискриминанта ! Алгебра 7 класс.
    Ответить
    • Инна
      в 09:12

      x^2+x-6=(x^2+x)-6=(x^2+2*1/2*x+(1/2)^2-(1/2)^2)-6=(x^2+2*1/2*x+1/4)-6,25=(x+1/2)^2-(2,5)^2
      Ответить
      • Елена
        в 09:44

        Спасибо огромное Вам!
        Ответить
  3. Елена
    в 09:51

    Помогите пожалуйста решить как можно поподробней..я запуталась совсем,ничего не получается))) Дан прямоугольник со сторонами 3см и 5см. Большую его сторону уменьшили на А см а меньшую увеличили на А см. При каком значении А площадь полученного прямоугольника будет наибольшей?
    Ответить
    • Инна
      в 12:03

      S(A)=(3+A)(5-A)
      Рассмотреть как функцию от А
      S(A)=-A^2+2A-15
      Парабола с отрицательным старшим к-том имеет максимум в вершине: A=-b/2a=-2/(-2)=1
      Ответить
  4. Мадина
    в 15:38

    Помогите пожалуйста. Привести к общему знаменателю дроби: Х-1/х^2-8x+16; x+2/16-х^2
    Ответить
  5. Анастасия
    в 11:05

    2x^4+8x^3+12x^2+8x+1 разложить на множители. Возможно ли это, пожалуйста!
    Ответить
    • Инна
      в 11:36

      Можно попробовать с помощью метода неопределенных коэффициентов:
      2x^4+8x^3+12x^2+8x+1 =(2x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
      перемножить две скобки в правой части и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях. Получим систему относительно a,b,c,d
      Ответить
      • Анастасия
        в 16:27

        Получается, что данный многочлен нельзя представить в виде квадрата двух других многочленов, так?
        Ответить
        • Инна
          в 16:32

          Почему нельзя? Если найдутся коэффициенты a,b,c,d, то можно.
          Ответить
  6. Артур
    в 16:44

    помогите пожалуйста!!!!!!!!!!! приведите дроби к общему знаменателю.
    1) 4/3а — 1; 3/1 -9а^2; 2/1+3а;
    2) 5/ а^3 +1; 2а+3 /1-а+а^2 ;
    3) х-1/х^2-8x+16 ; х+2/16-х^2;
    4) 2-х/25 -10х+х^2 ; 1+х /50 -2х^2.
    Ответить
  7. Артур
    в 16:59

    помогите по-жа-луй-ста!!! упростить выражения.
    1) 1/2m-4 +m/4-m^2=
    2)4x^2+4/16x^2-9 — x^2+1/4x^2-3x=
    3)b/3b-1 + 3b^2-1/1-9b^2=
    Ответить
← Предыдущие комментарии
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *