Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.

2013-02-14

Главная » СТАТЬИ » АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ » Разложение многочлена на множители. Часть 2

14 Фев 2013

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Разложение многочлена на множители. Часть 2

В этой статье мы продолжим разговор о том, как раскладывать многочлен на множители. Мы уже говорили о том, что разложение на множители - это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль - попробовать разложить левую часть на множители.

Перечислим основные способы разложения многочлена на множители:

вынесение общего множителя за скобку
использование формул сокращенного умножения
по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
способ группировки
деление многочлена на двучлен
метод неопределенных коэффициентов.

Мы уже подробно рассмотрели первые три способа разложения на множители. В этой статье мы остановимся на четвертом способе, способе группировки.

Если количество слагаемых в многочлене превышает три, то мы пытаемся применить способ группировки. Он заключается в следующем:

1.Группируем слагаемые определенным образом так, чтобы потом каждую группу можно было разложить на множители каким-то способом. Критерий того, что слагаемые сгруппированы верно - наличие одинаковых множителей в каждой группе.

2. Выносим за скобку одинаковые множители.

Поскольку этот способ применяется наиболее часто, разберем его на примерах.

Пример 1. Разложить на множители выражение: a^2-2bc+2ac-ab

Решение. 1. Объединим слагаемые в группы:

a^2-2bc+2ac-ab = (a^2+2ac)+(-2bc-ab)

2. Вынесем из каждой группы общий множитель:

(a^2+2ac)+(-2bc-ab)= a(a+2c)-b(2c+a)

3. Вынесем множитель, общий для обеих групп:

a(a+2c)-b(2c+a)=(a+2c)(a-b)

Итак, a^2-2bc+2ac-ab=(a+2c)(a-b)

Пример 2. Разложить на множители выражение: 1-x^2+2xy-y^2

1. Сгруппируем последние три слагаемых и разложим на множители по формуле квадрата разности:

1-x^2+2xy-y^2=1-(x^2-2xy+y^2)=1-(x-y)^2

2. Разложим получившееся выражение на множители по формуле разности квадратов:

1-(x-y)^2=1^2-(x-y)^2=(1-(x-y))(1+(x-y))=(1-x+y)(1+x-y)

Итак, 1-x^2+2xy-y^2= (1-x+y)(1+x-y)

Пример 3. Решить уравнение: $5^{2x}-7^x-35*5^{2x}+35*7^x=0$

В левой части уравнения четыре слагаемых. Попробуем разложить левую часть на множители с помощью группировки.

1. Чтобы структура левой части уравнения была яснее, введем замену переменной: $a= 5^{2x}$ , b=7^x

Получим уравнение такого вида:

a-b-35a+35b=0

2. Разложим левую часть на множители с помощью группировки:

a-b-35a+35b=(a-b)+(-35a+35b)=(a-b)-35(a-b)=-34(a-b)

Внимание! Чтобы не ошибиться со знаками, я рекомендую объединять слагаемые в группы "как есть", то есть не меняя знаки коэффициентов, и следующим действием, если необходимо, выносить за скобку "минус".

3. Итак, мы получили уравнение:

-34(a-b)=0

Отсюда a-b=0 .

То есть a=b

4. Вернемся к исходной переменной:

$5^{2x}=7^x$

25^x=7^x

Разделим обе части на 7^x . Получим: (25/7)^x=1 . Отсюда x=0

Ответ: 0

Пример 4. Решить уравнение: 6sin3xcos5x-4cos5x+3sin3x-2=0

Чтобы структура уравнения стала более "прозрачной", введем замену переменной:

sin3x=a , cos5x=b

Получим уравнение: 6ab-4b+3a-2=0

Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого сгруппируем первое и второе слагаемые и вынесем за скобку :

(6ab-4b)+3a-2=2b(3a-2)+3a-2 ,

вынесем за скобку 3a-2 :

2b(3a-2)+3a-2=(3a-2)(2b+1) .

Вернемся к уравнению:

(3a-2)(2b+1) =0

Отсюда 3a-2=0 или 2b+1=0 ,

a=2/3 или b=-1/2

Вернемся к исходной переменной:

sin3x=2/3 или cos5x=-1/2

Чтобы решить эти уравнения, нужно вспомнить, как решаются простейшие тригонометрические уравнения.

Получаем:

$3x=(-1)^{n}arcsin{2/3}+{pi}n$ , n{in}{bbZ} ;

$x={1/3}(-1)^{n}arcsin{2/3}+{{pi}n}/3$ , n{in}{bbZ}

или

5x={pm}{2{pi}}/3 +2{pi}m , m{in}{bbZ} ;

x={pm}{2{pi}}/15 +{2{pi}m}/5 , m{in}{bbZ} ;

Ответ: $x={1/3}(-1)^{n}arcsin{2/3}+{{pi}n}/3$ , n{in}{bbZ} , x={pm}{2{pi}}/15 +{2{pi}m}/5 , m{in}{bbZ}

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Разложение многочлена на множители. Часть 2

Инна | Отзывов (18)

Отзывов (18)

Следующие комментарии →

Вера

2015-03-15 в 08:16

Помогите
Разложите на множители d^3−r^2d−rd^2+r^3

Ответить
- Инна
  
  2015-03-15 в 09:03
  
  Ответить
евгений

2015-10-18 в 01:46

((I^9-1)(I^9+1))/(1-I)

Ответить
- Инна
  
  2015-10-18 в 07:56
  
  (I^9-1) раскладывать на множители по формуле разности кубов, пока в разложении не появится (I-1), а потом сократить
  
  Ответить
артур

2015-12-13 в 08:59

Помогите выручите срочно надо !!!!!!составьте квадратные уравнения по его корням
1)х1= 1- 5√2 и х2=1+5√2 ;
2)х1=а/3 и х2а/2
3)х1=-7 и х2=-4√3;
4)х1=-2 и х2=√5

Ответить
- Инна
  
  2015-12-14 в 12:16
  
  Пусть имеем приведенное квадратное уравнение $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  По теореме Виета $Подготовка к ГИА и ЕГЭ$
  
  Ответить
  - артур
    
    2015-12-14 в 19:30
    
    СПАСИБО БОЛЬШОЕ .ИЗВИНИТЕ НО ВЫ БЫ НЕ СМОГЛИ НАПИСАТЬ ПЕРВЫЙ ДВА ,Я БЫ СОРЕНТИРОВАЛСЯ ПО НИМ . МНЕ ТАК ЛЕГЧЕ ПОНЯТЬ. МНЕ НЕМНОГО ТЯЖЕЛОВАТО С АЛГЕБРОЙ .
    
    Ответить
  - артур
    
    2015-12-15 в 11:31
    
    СПАСИБО БОЛЬШОЕ. ИЗВИНИТЕ А ВЫ НЕ СМОЖЕТЕ НАПИСАТЬ НАГЛЯДНО ПЕРВЫЙ ДВА .А ТО Я ПРОПУСТИЛ УРОКИ БОЛЕЛ .А МНЕ БОЛЬШЕ ПОНЯТНЕЙ ЕСЛИ РАСПИСАНО .ЗАРАНЕЕ СПАСИБО.
    
    Ответить
- Инна
  
  2015-12-15 в 06:47
  
  1)
  
  2)
  
  Получим уравнение:
  
  Умножим обе части на 6, получим:
  
  Ответить
артур

2015-12-14 в 19:34

СПАСИБО БОЛЬШОЕ ВАМ . ИЗВИНИТЕ ВЫ БЫ НЕ СМОГЛИ ПОКАЗАТЬ ХОТЯ БЫ ПЕРВЫЙ ДВА . МНЕ НЕМНОГО ТЯЖЕЛОВАТО С АЛГЕБРОЙ ,А НАГЛЯДНО МНЕ БОЛЬШЕЕ ПОНЯТНО . ЕЩЕ РАЗ БОЛЬШОЕ СПАСИБО

Ответить
артур

2015-12-22 в 05:01

Здравствуйте ,помогите пожалуйста ,у меня учебника нет по геометрии ,тоесть темы этой ,я с фотографировал у друга с учебника .решить не как не могу . пожалуйста очень прошу. Упростите выражения sina cos^2a + sin^2a
упростите выражение (tga + ctga — cos^2a)+1sin^2a

Ответить
артур

2015-12-22 в 18:49

Помогите по-жа-луй-ста решите уравнение срочно надо
1)4x+3/y-7=y^2/7-y
2)1/3x-1 =x/27-x ЗАРАНЕЕ БОЛЬШОЕ СПАСИБО

Ответить
артур

2015-12-23 в 05:33

Помогите пожалуйста выручи очень срочно надо!!!!
упростите выражения sina cos^2a + sin^2a
упростите выражение (tga + ctga — cos^2a)+1\sin^2a это геометрия

Ответить