Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
31 Май 2013
14 Задание (2022) (C3)ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ

Система неравенств с модулем. Задание С3

Решим задачу из Задания С3 для  подготовки к ЕГЭ  по математике:

Решите систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2^{x^2+{delim{|}{x}{|}}}*3^{-{delim{|}{x}{|}}}<=1} {{delim{|}{x-1}{|}}<={9x^2}/2+2,5x} }}{ }

Как обычно, решим каждое неравенство системы по отдельности.

Начнем с первого неравенства исходной системы:

2^{x^2+{delim{|}{x}{|}}}*3^{-{delim{|}{x}{|}}}<=1

1. Умножим обе части неравенства на 3^{{delim{|}{x}{|}}} - это выражение  всегда больше нуля, поэтому знак неравенства не меняется:

{{2^{x^2+{delim{|}{x}{|}}}<=3^{{delim{|}{x}{|}}}}}

2. Возьмем от обеих частей неравенства логарифм по основанию 2 (основание больше 1, поэтому знак неравенства не меняется):

log_2{{2^{x^2+{delim{|}{x}{|}}}<=log_2{3^{{delim{|}{x}{|}}}}}}

x^2+{delim{|}{x}{|}}<={delim{|}{x}{|}}*log_2{3}

Так как x^2=({delim{|}{x}{|}})^2, перепишем неравенствов таком виде:

({delim{|}{x}{|}})^2+{delim{|}{x}{|}}-{delim{|}{x}{|}}*log_2{3}<=0

({delim{|}{x}{|}})^2+{delim{|}{x}{|}}*(1-log_2{3})<=0

({delim{|}{x}{|}})^2+{delim{|}{x}{|}}*(log_2{(2/3)})<=0

({delim{|}{x}{|}})^2-{delim{|}{x}{|}}*(log_2{(3/2)})<=0

{delim{|}{x}{|}}*(delim{|}{x}{|}-log_2{(3/2)})<=0

Первый множитель delim{|}{x}{|}>=0,  следовательно, delim{|}{x}{|}-log_2{(3/2)}<=0

delim{|}{x}{|}<=log_2{(3/2)}

Отсюда: -log_2{(3/2)}<=x<=log_2{(3/2)}

Итак, решение первого неравенства -log_2{(3/2)}<=x<=log_2{(3/2)}.

Решим второе неравенство исходной системы:

{delim{|}{x-1}{|}}<={9x^2}/2+2,5x

Неравенство вида delim{|}{x}{|}<=a равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<=a} {x>=-a} }}{ }

Запишем систему, равносильную нашем неравенству:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{ {x-1<={9x^2}/2+2,5x}{x-1>=-{9x^2}/2-2,5x} }}{ }

Решим каждое неравенство системы:

x-1<={9x^2}/2+2,5x

Перенесем все влево:

{9x^2}/2+2,5x-x+1>=0

Умножим обе части на 2:

9x^2+3x+2>=0

Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства меньше нуля, следовательно неравенство верно при любом x

Рассмотрим второе неравенство:

x-1>=-{9x^2}/2-2,5x

{9x^2}/2+2,5x+x-1>=0

9x^2+7x-2>=0

Корни квадратного трехчлена

x=-1; x=2/9:

Итак, решение второго неравенства исходной системы:x<=-1; x>=2/9

Совместим решения первого и второго неравенства на одной координатной прямой. Для этого нам надо выяснить расположение точек.

Очевидно, что -log_2{(3/2)}>-1

Сравним числа 2/9 и log_2{(3/2)}:

3/2>sqrt{2}

log_2{(3/2)}>log_2{sqrt{2}}=1/2>2/9

Итак, совмещаем решения обоих неравенств системы на одной координатной прямой:

Ответ: [ 2/9;log_2{(3/2)} ]

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Система неравенств с модулем. Задание С3
| Отзывов (17)

Отзывов (17)

Следующие комментарии →
  1. Матвей
    в 08:40

    Опечатка:
    1. Умножим обе части неравенства на 3^|x|, а не 3^-|x| – это выражение всегда больше нуля, поэтому знак неравенства не меняется:
    Ответить
    • Инна
      в 08:42

      Спасибо.
      Ответить
      • Матвей
        в 08:46

        Вам спасибо.
        Ответить
  2. Татьяна
    в 11:34

    Здравствуйте, Инна! У меня тоже всё так. Спасибо, что не забываете нас. Жизнь хороша!!!
    Ответить
  3. ella
    в 13:03

    Я это неравенство прорешала два дня назад, используя определение модуля и рассмотрела два случая, когда х>=0 и когда х<0. Мне так понятней. Ответы с вашими сошлись, еще больше уверенности у меня стало. Спасибо Вам большое, моя скорая помощь!! А вот параметры, к сожалению, никак не полюблю.Даже браться не хочу, т.к. никак не могу найти единой методики.
    Ответить
  4. Клим
    в 19:28

    Здравсвуйте, Инна, решал подобную систему и в конце мне надо сравнить log 4 по основанию 9 и 11/18, оба числа больше 0,5 и меньше 1, как их сравнить?
    Ответить
    • Инна
      в 07:36

      11/18 меньше чем 2/3, log 4 по основанию 9 больше чем 2/3, следовательно, log 4 по основанию 9 больше чем 11/18
      Ответить
      • Нина
        в 10:53

        log 4 по основанию 9 меньше 2/3
        Ответить
  5. Катя
    в 09:37

    Здравствуйте!Почему вы поменяли знак с + на -,решая первое неравенство?Предпоследняя строчка в столбце с решением.(х^2)-модуль х (log…) и т.д.
    Ответить
    • Инна
      в 12:19

      Я и перевернула дробь под знаком логарифма
      Ответить
  6. Антон
    в 13:46

    Инна, мне кажется, что во втором неравенстве допущена ошибка. Раскрывая модуль, вы не записали при каких х выполняется неравенство. И ответ второй части второго неравенства (-*беск.*;-1]U[2/9;1)
    Или это я ошибаюсь?
    Ответить
    • Инна
      в 14:14

      Неравенство равносильно системе, без рассмотрения двух промежутков.
      Ответить
  7. Елена
    в 15:28

    Очень рациональное решение. Спасибо
    Ответить
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *