Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
11 Сен 2013
ТЕОРИЯ ЧИСЕЛТРИГОНОМЕТРИЯ

Тригонометрическое уравнение в целых числах

Тригонометрическое уравнение в целых числах

Предлагаю вам познакомиться с решением вот такого интересного тригонометрического уравнения:

cos({pi}{sqrt{x}})cos({pi}{sqrt{x-4}})=1

Поскольку delim{|}{cosx}{|}<=1, произведение косинусов может быть равно 1 только в двух случаях: оба косинуса равны 1 или оба косинуса равны -1.

Таким образом, это уравнение равносильно совокупности двух систем:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{cos({pi}{sqrt{x}})=1} {cos({pi}{sqrt{x-4}})=1} }}{ } (1)

или

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{cos({pi}{sqrt{x}})=-1} {cos({pi}{sqrt{x-4}})=-1} }}{ } (2)

Рассмотрим каждую систему.

(1)  Решим каждое уравнение первой системы. Получим::

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{pi}{sqrt{x}}=2{pi}n} {{pi}{sqrt{x-4}}=2{pi}m} }}{ }

Так как в левой части стоят неотрицательные выражения, правая часть тоже должна быть неотрицательной. Тогда n и m - целые  и вдобавок неотрицательные числа числа.

В каждом уравнении разделим обе части на  pi и возведем в квадрат. Получим:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=4n^2} {x-4=4m^2} }}{ };delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=4n^2} {x=4m^2+4} }}{ }

Отсюда 4n^2=4m^2+4

Разделим обе части равенства на 4:

n^2=m^2+1

Или

n^2-m^2=1

Разложим левую часть на множители. (Помним, что  n и m - целые  неотрицательные числа. )

(n-m)(n+m)=1

Произведение двух целых чисел равно 1, если оба эти числа равны 1 или -1. То есть выполняются условия:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{n-m=1} {n+m=1} }}{ }  или delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{n-m=-1} {n+m=-1} }}{ }

Из первой системы получаем n=1, m=0. Вторая система на множестве целых неотрицательных чисел решений не имеет.

Теперь вспоминаем, что x=4n^2, и получаем x=4.

(2) Рассмотрим вторую систему. Она равносильна следующей:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{pi}{sqrt{x}}={pi}+2{pi}n} {{pi}{sqrt{x-4}}={pi}+2{pi}m} }}{ }

В каждом уравнении разделим обе части на  pi и возведем в квадрат. Получим:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=(2n+1)^2} {x-4=(2m+1)^2} }}{ };delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=(2n+1)^2} {x=(2m+1)^2+4} }}{ }

Отсюда (2n+1)^2=(2m+1)^2+4

или

(2n+1)^2-(2m+1)^2=4

(2n-2m)(2n+2m+2)=4

(n-m)(n+m+1)=1

На множестве целых неотрицательных чисел это уравнение решений не имеет.

Ответ: x=4

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Тригонометрическое уравнение в целых числах
| Отзывов нет

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *