Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
27 Фев 2012
12 Задание (2022) (C1)ВИДЕОУРОКИТРИГОНОМЕТРИЯ

Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного угла

Уравнения вида a{sin{x}}+b{cos{x}}=c решаются с помощью введения вспомогательного угла.

Давайте рассмотрим, как приводить выражение a{sin{x}}+b{cos{x}} к  sin (x+{varphi})

1. Вынесем за скобки sqrt{a^2+b^2}:

a{sin{x}}+b{cos{x}}=sqrt{a^2+b^2}(a/{sqrt{a^2+b^2}}{sin{x}}+b/{sqrt{a^2+b^2}}{cos{x}})

2.  Выражения a/{sqrt{a^2+b^2}} и b/{sqrt{a^2+b^2}}  обладают очень важным для нас свойством:

{(a/{sqrt{a^2+b^2}})}^2+{(b/{sqrt{a^2+b^2}})}^2=1 (проверьте это самостоятельно).

Следовательно, точка с координатами (a/{sqrt{a^2+b^2}};b/{sqrt{a^2+b^2}} ) принадлежит единичной окружности. (Уравнение единичной окружности x^2+y^2=1). Значит, существует угол varphi такой, что cos{varphi}=a/{sqrt{a^2+b^2}}, и sin{varphi}=b/{sqrt{a^2+b^2}}.

Подставим тригонометрические функции угла varphi в наше выражение:

a{sin{x}}+b{cos{x}}=sqrt{a^2+b^2}(a/{sqrt{a^2+b^2}}{sin{x}}+b/{sqrt{a^2+b^2}}{cos{x}})=sqrt{a^2+b^2}(cos{varphi}sin{x}+sin{varphi}cox{x})=sqrt{a^2+b^2}sin(x+{varphi})

Рассмотрим пример решения уравнения такого типа:

cos{x}-sqrt{3}sin{x}=sqrt{3}

1. Вынесем за скобку sqrt{1^2+{(sqrt{3})}^2}=sqrt{4}=2

Получим:

2(1/2cos{x}-sqrt{3}/2sin{x})=sqrt{3}

Разделим обе части уравнения на 2:

1/2cos{x}-sqrt{3}/2sin{x}=sqrt{3}/2

Пусть угол  varphi такой, что cos{varphi}=1/2  ,   sin{varphi}=sqrt{3}/2  . Очевидно, что varphi={pi}/3

Перепишем уравнение:

cos{{pi}/3}cos{x}-sin{{pi}/3}sin{x}=sqrt{3}/2

Мы получили формулу косинуса  суммы. Заметьте, все равно, какое число принимать за синус дополнительного угла, а какое за косинус - мы просто получим другую формулу.

cos{(x+{{pi}/3})}=sqrt{3}/2

x+{{pi}/3}={pm}{pi}/6+2{pi}k, где k{in}bbZ  

Отсюда: x=-{{pi}/3}{pm}{pi}/6+2{pi}k, где k{in}bbZ  

А теперь я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с объяснением решения тригонометрического  уравнения уровня С1:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1"

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного угла
| Отзывов (24) | Метки: ,

Отзывов (24)

← Предыдущие комментарии
  1. ученица
    в 16:14

    как решить (3*(2^1/2)*(cos35-sin35))/cos100 ?
    Ответить
    • Инна
      в 08:25

      Ввести вспомогательный угол: √2(cos35-sin35)=√2cos35 -√2sin35=2*(√2/2cos35 -√2/2sin35)=2*(√2/2cos35 -√2/2sin35)=2*(sin45cos35 -cos45sin35)=2*sin(45-35)=sin10
      cos100=cos(90+10)=-sin10
      Ответить
  2. basandavaadalai
    в 09:17

    sin5x+cos5x=\sqrt{2}cos13x
    Ответить
    • Инна
      в 09:19

      Разделить обе части на , затем в левой части свернуть с помощью формулы вспомогательного угла, перенести все влево и разложить на множители.
      Ответить
      • basandavaadalai
        в 09:39

        извините скажите мне поожалуйста
        Как решит?
        Ответить
  3. Юлия
    в 11:38

    Здравствуйте, помогите пожалуйста с решением данной задачи. «Вычислить sin^3x + cos^3x, если известно, что sinx + cosx = 0,6»
    Ответить
    • Инна
      в 12:12



      отсюда:

      зная, что , находим значение выражения
      Ответить
      • Юлия
        в 13:05

        А можно поподробней, а то ответ не сходится?
        Ответить
  4. Юля
    в 15:21

    Здравствуйте, можете помочь решить sinx-cosx=корень из 3/2
    Ответить
  5. Лана
    в 07:48

    Скажите почему получаются разные ответы при решении одного и того же уравнения методом введения нового угла и методом приведения к квадратному, путем перехода к половинчатому углу? как это понять? ведь и в том и в том случае я правильно выполняю преобразования.
    Ответить
    • Инна
      в 08:44

      Одну и то же решение можно записать разными способами. Отметьте на тригонометрическом круге ваши решения, и проверьте, совпадают ли точки.
      Ответить
← Предыдущие комментарии

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *