Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
27 Фев 2012
12 Задание (2022) (C1)ВИДЕОУРОКИТРИГОНОМЕТРИЯ

Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного угла

Уравнения вида a{sin{x}}+b{cos{x}}=c решаются с помощью введения вспомогательного угла.

Давайте рассмотрим, как приводить выражение a{sin{x}}+b{cos{x}} к  sin (x+{varphi})

1. Вынесем за скобки sqrt{a^2+b^2}:

a{sin{x}}+b{cos{x}}=sqrt{a^2+b^2}(a/{sqrt{a^2+b^2}}{sin{x}}+b/{sqrt{a^2+b^2}}{cos{x}})

2.  Выражения a/{sqrt{a^2+b^2}} и b/{sqrt{a^2+b^2}}  обладают очень важным для нас свойством:

{(a/{sqrt{a^2+b^2}})}^2+{(b/{sqrt{a^2+b^2}})}^2=1 (проверьте это самостоятельно).

Следовательно, точка с координатами (a/{sqrt{a^2+b^2}};b/{sqrt{a^2+b^2}} ) принадлежит единичной окружности. (Уравнение единичной окружности x^2+y^2=1). Значит, существует угол varphi такой, что cos{varphi}=a/{sqrt{a^2+b^2}}, и sin{varphi}=b/{sqrt{a^2+b^2}}.

Подставим тригонометрические функции угла varphi в наше выражение:

a{sin{x}}+b{cos{x}}=sqrt{a^2+b^2}(a/{sqrt{a^2+b^2}}{sin{x}}+b/{sqrt{a^2+b^2}}{cos{x}})=sqrt{a^2+b^2}(cos{varphi}sin{x}+sin{varphi}cox{x})=sqrt{a^2+b^2}sin(x+{varphi})

Рассмотрим пример решения уравнения такого типа:

cos{x}-sqrt{3}sin{x}=sqrt{3}

1. Вынесем за скобку sqrt{1^2+{(sqrt{3})}^2}=sqrt{4}=2

Получим:

2(1/2cos{x}-sqrt{3}/2sin{x})=sqrt{3}

Разделим обе части уравнения на 2:

1/2cos{x}-sqrt{3}/2sin{x}=sqrt{3}/2

Пусть угол  varphi такой, что cos{varphi}=1/2  ,   sin{varphi}=sqrt{3}/2  . Очевидно, что varphi={pi}/3

Перепишем уравнение:

cos{{pi}/3}cos{x}-sin{{pi}/3}sin{x}=sqrt{3}/2

Мы получили формулу косинуса  суммы. Заметьте, все равно, какое число принимать за синус дополнительного угла, а какое за косинус - мы просто получим другую формулу.

cos{(x+{{pi}/3})}=sqrt{3}/2

x+{{pi}/3}={pm}{pi}/6+2{pi}k, где k{in}bbZ  

Отсюда: x=-{{pi}/3}{pm}{pi}/6+2{pi}k, где k{in}bbZ  

А теперь я предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с объяснением решения тригонометрического  уравнения уровня С1:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1"

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение тригонометрических уравнений с помощью введения вспомогательного угла
| Отзывов (24) | Метки: ,

Отзывов (24)

Следующие комментарии →
  1. Александр
    в 12:16

    Какая красота. Могу всё это оценить, несмотря на то, что закончил школу 36 лет назад (с серебром).
    Ответить
  2. Надежда
    в 12:22

    Мама дорогая! Как давно это было. Успехов Вам и Вашим ученикам и читателям сайта на ЕГЭ.
    Ответить
  3. Александр
    в 17:14

    Скажите пожалуйста, а конечный ответ в задаче будет какой? -П/6 и -П/2 +2ПК или нет?
    Ответить
    • Инна
      в 17:30

      Да, правильно.
      Ответить
    • Инна
      в 17:31

      Можно и оставить в том виде, как я написала, не разбивая на две серии решений.
      Ответить
  4. Абай
    в 10:59

    КАК РЕШИТЬ ЭТО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЕ УРАВНЕНИЕ: cosx=-1 . 2sin^2x+3sinx+1=0
    Ответить
  5. VLAD
    в 09:49

    Решаю уравнение cos(π(2x-3)/3=1/2 и не могу выразить 2x. Помогите.
    Ответить
    • Инна
      в 12:37

      обозначь (π(2x-3)/3)=t, реши уравнение cost=1/2, а потом выражай х.
      Ответить
      • VLAD
        в 14:52

        Спасибо
        Ответить
  6. Adele
    в 12:30

    Здравствуйте!
    3*ctg(x)+1/cos(x)=tg(x)+(sqrt(3))/sin(x) не могу решить это уравнение. Можете помочь, направить?
    Ответить
    • Инна
      в 12:40

      Умножь обе части не sinxcosx, перенеси все в одну сторону и разложи на множители с помощью группировки — там в одной группе будет разность квадратов.
      Ответить
  7. Inna
    в 05:41

    Посмотрела ваше видео, но все равно сомневаюсь что это способ поможет..к этому уравнению. Может вы знаете каким способом можно решить sin(5x)+cos(5x)=1 это тригонометрическое уравнение?
    Ответить
    • Инна
      в 10:45

      Так же: √2(1/√sin(5x)+1/√2cos(5x))=1
      sin(5x+π/4)=√2/2
      Ответить
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *