Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
17 Май 2012
12 Задание (2022) (C1)ВИДЕОУРОКИТРИГОНОМЕТРИЯ

Тригонометрические уравнения, содержащие выражения sinx+cosx и sinxcosx. Задание С1

В этой статье мы рассмотрим еще один тип тригонометрических уравений - уравнения, содержащие выражения sin{x}cos{x}  и sin{x}{pm}cos{x}.

Разберем подробно решение такого уравнения:

4-4(cos{x}-sin{x})-sin{2x}=0

Тригонометрические уравнения, содержащие выражения sin{x}cos{x}  и sin{x}{pm}cos{x} решаются по стандартной схеме.

Воспользуемся формулой синуса двойного аргумента:

4-4(cos{x}-sin{x})-2sin{x}cos{x}=0

Введем замену переменной. Обозначим t=cos{x}-sin{x}. Теперь наша задача выразить  sin{x}cos{x} через t.

Поступим так: возведем  выражение t=cos{x}-sin{x} в квадрат. Получим:

t^2=cos^2{x}-2sin{x}cos{x}+sin^2{x}=1-2sin{x}cos{x}

Отсюда 2sin{x}cos{x}=1-t^2 

Введем замену: 4-4t-(1-t^2)=0

Решим квадратное уравнение:

t^2-4t+3=0

Сумма коэффициентов уравнения равна нулю, следовательно, t_1=1,  t_2=3

Вернемся к исходной переменной. Теперь нам надо решить два уравнения:

cos{x}-sin{x}=1 и cos{x}-sin{x}=3.

Уравнения такого типа решаются с помощью введения вспомогательного угла,

Начнем с уравнения cos{x}-sin{x}=1

Вынесем за скобку sqrt{2}:

sqrt{2}({1/{sqrt{2}}}cos{x}-{1/{sqrt{2}}}sin{x})=1

(1/{sqrt{2}}=sqrt{2}/2=sin({pi}/4)= cos({pi}/4))

Разделим обе части уравнения на  sqrt{2}, получим в итоге

 sin({pi}/4)cos{x}-cos({pi}/4)sin{x}=sqrt{2}/2

sin({pi}/4-x)=sqrt{2}/2

 {pi}/4-x={pi}/4+2{pi}k, k{in}{bbZ}  или  {pi}/4-x={3{pi}}/4+2{pi}k, k{in}{bbZ}

Отсюда x=2{pi}k, k{in}{bbZ} или x=-{pi}/2+2{pi}k, k{in}{bbZ} 

Рассмотрим второе уравнение: cos{x}-sin{x}=3

Используем выполненные преобразования, получим:

sin({pi}/4-x)=3/{sqrt{2}} 

Очевидно, что  3/{sqrt{2}}>1 , поэтому данное уравнение решений не имеет.

Ответ: x=2{pi}k, k{in}{bbZ} или x=-{pi}/2+2{pi}k, k{in}{bbZ} 

А теперь я предлагаю вам самостоятельно решить задание:

Решите уравнение 5sin{2x}-11(sin{x}+cos{x})+7=0. В ответе укажите множество решений, принадлежащих промежутку delim{[}{0;{pi}}{]}

и сверить свое решение с ВИДЕОУРОКОМ:

 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1"

Для вас другие записи этой рубрики:

Тригонометрические уравнения, содержащие выражения sinx+cosx и sinxcosx. Задание С1
| Отзывов (31)

Отзывов (31)

← Предыдущие комментарии
  1. катя
    в 19:54

    известно что tg( (п/4)- альфа) =3. Найдите 2tg альфа. Помогите пожалуйста
    Ответить
    • Инна
      в 09:32

      Нужно воспользоваться формулой тангенса разности, и из нее найти

      Ответить
← Предыдущие комментарии

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *