Решение нелинейных систем уравнений. Часть 2

Решение нелинейных систем уравнений.

Продолжим изучение способов решения нелинейных систем уравнений. О том, как решать распадающиеся и симметрические системы я рассказывала здесь.

В этой статье мы рассмотрим решение систем однородных уравнений и метод почленного умножения и деления уравнений системы.

3. Системы однородных уравнений.

Классическое однородное уравнение с двумя неизвестными имеет вид:

Заметим, что  в однородном уравнении

• степень каждого одночлена равна двум
• свободный член отсутствует
• в правой части стоит ноль.

Мы не можем решить это уравнение, но мы можем выразить одно неизвестное через другое, и это сильно облегчит нашу жизнь при решении системы.

Разделим обе части уравнения на . (Мы можем это сделать, так как не является корнем уравнения.)

Получим уравнение:

Введем замену   и решим это уравнение относительно переменной . Таким образом мы получим простую зависимость переменной от переменной .

Решим систему уравнений:

Первое уравнение системы обладает всеми признаками однородного уравнения. Разделим обе части первого уравнения на :

Введем замену   и решим это уравнение относительно переменной .

Заметим, что 3-1=2 (), поэтому ;

Отсюда и

или и .

Мы выразили одну переменную через другую. Рассмотрим оба случая.

1. 

Подставим вместо во второе уравнение системы:

-  нет решений.

2.

Подставим вместо во второе уравнение системы:

Соответственно

Ответ: (1;3);  (-1;-3)

Рассмотрим еще один пример системы уравнений, приводящихся к однородным. Решим систему уравнений:

Все было бы прекрасно, если бы в правой части одного из уравнений стоял бы ноль. Чтобы это получить, домножим уравнения так, чтобы числа, стоящие в правой части уравнений были равны по модулю, но противоположны по знаку. А потом сложим получившиеся уравнения.

Умножим первое уравнение на -2, а второе на 3. Получим:

Сложим уравнения системы. Получим:

. Отсюда или .

1.

Подставим в первое уравнение исходной системы:

2.

Подставим вместо в первое  уравнение системы:

Ответ: (0;1); (0;-1); (1;1); (-1;-1)

4. Системы, которые решаются почленным умножением и делением уравнений системы.

Решим систему уравнений:

Разложим на множители левую часть каждого уравнения:

Разделим второе уравнение на первое. Получим:

Отсюда, 

Подставим вместо в первое уравнение исходной системы:

Решим это уравнение относительно :

; 

Тогда

; 

Ответ: (2;1); (1;2)

5. Системы, решаемые с помощью замены переменной.

Честно говоря, выделять замену переменной в отдельный метод как-то рука не поднимается, поскольку этот универсальный прием во всех случаях сильно облегчает нам жизнь.

Решим систему уравнений:

(1)

Замена переменной достаточно очевидна:

Пусть

; 

Получим систему линейных уравнений:

  (2)

Решим эту систему методом сложения. Сделаем так, чтобы коэффициенты при  были равны по модулю, но противоположны по знаку. Для этого умножим первое уравнение системы на 2, а второе на 3:

Сложим уравнение системы. Получим:

. Отсюда .

Подставим это значение в первое уравнение системы (2):

; 

Вернемся к исходным переменным:

Отсюда:

(3)

Получили систему уравнений, приводящихся к однородным. Умножим первое уравнение на 2, а второе на -7:

Сложим уравнения системы и получим однородное уравнение с двумя неизвестными:

Разделим обе части уравнения на :

Введем замену , и решим квадратное уравнение относительно :

;

;

;

Мы выразили одну переменную через другую. Рассмотрим каждый случай.

1.

Подставим вместо во второе уравнение системы (3). (В этом уравнении переменная в одном экземпляре и в первой степени.)

, . Отсюда ;

2.

Подставим вместо в первое уравнение системы (3). (В этом уравнении переменная в одном экземпляре и в первой степени.)

;

;

Ответ: (3,5;-0,5); (-3,5;0,5); (1;2); (-1;-2)

6. Комбинированные способы решения.

Рассмотрим решение такой системы:

Выделим полный квадрат в каждом уравнении:

Сложим уравнения системы:

Введем замену: , тогда

Получим:

Перенесем все влево и сгруппируем:

Отсюда .  Тогда

Ответ: