Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
15 Окт 2013
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Умножение, деление и сокращение алгебраических дробей

В этой статье мы рассмотрим основные действия с алгебраическими дробями:

Начнем с сокращения алгебраических дробей.

Казалось бы, алгоритм очевиден.

Чтобы сократить алгебраические дроби, нужно

1. Разложить числитель и знаменатель дроби на множители.

2. Сократить одинаковые множители.

Однако, школьники часто делают ошибку, "сокращая" не множители, а слагаемые. Например, есть любители, которые в дроби {x^2-1}/{x^2+x} "сокращают" на x^2 и получают в результате -{1/x}, что, разумеется, неверно.

Рассмотрим примеры:

1. Сократить дробь: {a^2+4ab+4b^2}/{a^2-4b^2}=

1. Разложим на множители числитель по формуле квадрата суммы, а знаменатель по формуле разности квадратов

{a^2+4ab+4b^2}/{a^2-4b^2}={(a+2b)^2} /{(a+2b)(a-2b)}=

2. Разделим числитель и знаменатель на (a+2b)

{(a+2b)^2} /{(a+2b)(a-2b)}={a+2b}/{a-2b}

2.  Сократить дробь: {a+b+a^2-b^2}/{a-b+a^2-2ab+b^2}

 

1. Разложим на множители числитель. Так как числитель содержит четыре слагаемых, применим группировку.

a+b+a^2-b^2=(a+b)+(a^2-b^2)=( a+b)+(a+b)(a-b)=(a+b)(1+a-b) 

2. Разложим на множители знаменатель. Так же применим группировку.

a-b+a^2-2ab+b^2=(a-b)+(a^2-2ab+b^2)=(a-b)+(a-b)^2=(a-b)(1+a-b)

3. Запишем дробь, которая у нас получилась и сократим одинаковые множители:

{(a+b)(1+a-b)}/{(a-b)(1+a-b) }={a+b}/{a-b}

Умножение алгебраических дробей.

При умножении алгебраических дробей мы числитель умножаем на числитель, а знаменатель умножаем на знаменатель.

Важно! Не нужно торопиться выполнять умножение в числителе и знаменателе дроби. После того, как мы записали в числителе произведение числителей дробей, а в знаменателе - произведение знаменателей, нужно разложить на множители каждый множитель и сократить дробь.

Рассмотрим примеры:

3. Упростите выражение:

{{p^2-4{c^2}}/{a^2+10{ab}+25{b^2}}}*{{a^2-25{b^2}}/{2{c}-p}}

1. Запишем произведение дробей: в числителе произведение числителей, а в знаменателе произведение знаменателей:

{{p^2-4{c^2}}/{a^2+10{ab}+25{b^2}}}*{{a^2-25{b^2}}/{2{c}-p}}={({p^2-4{c^2}})({a^2-25{b^2}})}/{({a^2+10{ab}+25{b^2}})({2c-p})}

2. Разложим каждую скобку на множители:

{({p^2-4{c^2}})({a^2-25{b^2}})}/{({a^2+10{ab}+25{b^2}})({2c-p})}={(p-2c)(p+2c)(a-5b)(a+5b)}/{(a+5b)^2{(2c-p)}}

Теперь нам нужно сократить одинаковые множители. Заметим, что выражения p-2c и 2c-p отличаются только знаком:p-2c=-(2c-p) и в результате деления первого выражения на второе получим -1.

{{(p-2c)(p+2c)(a-5b)(a+5b)}/{(a+5b)^2{(2c-p)}}}=-{{(p+2c)(a-5b)}/{a+5b}}

Итак, {{p^2-4{c^2}}/{a^2+10{ab}+25{b^2}}}*{{a^2-25{b^2}}/{2{c}-p}} =-{{(p+2c)(a-5b)}/{a+5b}}

 

Деление алгебраических дробей мы выполняем по такому правилу:

То есть чтобы разделить на дробь, нужно умножить на "перевернутую".

Мы видим, что деление дробей сводится к умножению, а умножение, в конечном итоге, сводится к сокращению дробей.

Рассмотрим пример:

4. Упростите выражение:

{{3a-3b}/{4c+4y}}:{{a^2-b^2+a-b}/{c^2-y^2-c-y}}

{{3a-3b}/{4c+4y}}:{{a^2-b^2+a-b}/{c^2-y^2-c-y}} ={{3a-3b}/{4c+4y}}*{{c^2-y^2-c-y}/{a^2-b^2+a-b}}=

Разложим на множители числитель и знаменатель второй дроби:

c^2-y^2-c-y=(c^2-y^2)-(c+y)=(c-y)(c+y)-(c+y)=(c+y)(c-y-1)

a^2-b^2+a-b=(a^2-b^2)+(a-b)=(a-b)(a+b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1)

Получим:

{{3a-3b}/{4c+4y}}*{{c^2-y^2-c-y}/{a^2-b^2+a-b}}={{3(a-b)(c+y)(c-y-1) }/{4(c+y)(a-b)(a+b+1)}}={{3(c-y-1) }/{4(a+b+1)}}

Итак, {{3a-3b}/{4c+4y}}:{{a^2-b^2+a-b}/{c^2-y^2-c-y}}={{3(c-y-1) }/{4(a+b+1)}}

Сложение и вычитание алгебраических дробей мы рассмотрим в следующей статье.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Умножение, деление и сокращение алгебраических дробей
| Отзывов (14)

Отзывов (14)

Следующие комментарии →
  1. Людмила
    в 09:26

    Добрый день! Можете подсказать, как решаются задачи такого типа:
    1) Известно, что числитель дроби
    (3к^2+7k+1) / (8k^2+4k+10) делится на 11. Докажите, что дробь можно сократить на 11.
    2) Известно, что числитель дроби (5k^2+7k+11) / (8k^2+6k+2) делится на 13. Докажите, что дробь можно сократить на 13.

    (знак ^ — возведение в степень)
    Ответить
    • Инна
      в 11:07

      (3к^2+7k+1)+(8k^2+4k+10)=11k^2+11k+11 — делится на 11
      следовательно, (8k^2+4k+10)=(11k^2+11k+11)-(3к^2+7k+1) делится на 11
      Ответить
      • Людмила
        в 12:48

        Вы меня избавили от бессонных ночей 🙂 Спасибо Вам!
        Ответить
  2. alex
    в 15:56

    Здравствуйте , помогите пожалуйста решить эти примеры :

    Сократить дробь
    (3x^2-2x)/(6-7x-3x^2)
    Упростите выражение (y^-2-x^-2)*(x^-1-y^-1)
    Решите уравнение
    8/(x^2-6x+8)+(1-3x)/(2-x)=4/(x-4)
    Ответить
  3. alex
    в 16:02

    Буду благодарен)
    Ответить
  4. alex
    в 16:24

    А мне ответят?!
    Ответить
  5. alex
    в 07:21

    Здравствуйте , помогите пожалуйста решить эти примеры :

    Сократить дробь
    (3x^2-2x)/(6-7x-3x^2)
    Упростите выражение (y^-2-x^-2)*(x^-1-y^-1)
    Решите уравнение
    8/(x^2-6x+8)+(1-3x)/(2-x)=4/(x-4)
    Сайт Наебка нахуй никто не ответит никогда
    Ответить
    • Инна
      в 08:15

      alex, Вселенная несправедлива! Особенно по отношению к тем, кто завершает свою просьбу такими словами.
      Ответить
  6. Дима
    в 15:22

    Помогите (дробь) 7//x+4(конец дроби)+x=4
    Ответить
    • Инна
      в 08:28

         

         

         

      Дальше по свойству пропорции перемножаем «крест накрест» и решаем квадратное уравнение:

         

      Ответить
  7. Дима
    в 04:36

    ((((a^0.5)+2)/(a+2*(a^0.5)+1))-((a^0.5)-2)/(a-1))*(((a^0.5)+1)/(a^0.5))
    Ответить
    • Инна
      в 09:37

      Введите замену:

      Ответить
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *