Тригонометрическое уравнение с выборкой корней. Задание 13

В этой статье я хочу показать вам решение тригонометрического уравнения с выборкой корней. Но, самое главное, я хочу предостеречь вас от одного неравносильного перехода, который может возникнуть при решении тригонометрического неравенства.
Итак, задание такое:
1. Решите уравнение:

.

2. Найдите корни, принадлежащие промежутку

Это классическое распадающееся уравнение.

Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом существует.

Наше уравнение равносильно совокупности двух систем:

Вместо второй системы мы получили одно уравнение, так как первый множитель существует при всех действительных значениях , и ограничений на  ОДЗ нет.

Решим уравнения системы:

,

Это однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Разделим обе части уравнения на . (Проверим, что корни уравнения не являются корнями исходного уравнения - если , то , и левая часть не равна нулю).

Помним, что уравнение является частью системы

и его корни должны удовлетворять неравенству

.

Вот в этом месте нужно быть очень внимательными!

Правильное решение.

Решим неравенство. Левая часть неравенства обращается в ноль при . Эти точки разбивают тригонометрический круг на два промежутка - зеленый и красный, на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет знак:Чтобы выяснить, какой именно знак, возьмем произвольную точку, принадлежащую, например, красной дуге. Пусть это будет точка, соответствующая повороту на 0 радиан.

, поэтому во всех точках красной дуги выполняется неравенство .

Итак, нас устраивают корни уравнения которые расположены на красной дуге.

Расположим на тригонометрическом круге числа и . Если принять во внимание, что число 1 чуть-чуть меньше, чем , то,  число   поставим чуть-чуть не доходя до  , а число 2 чуть-чуть не доходя до :

Мы видим, что корень удовлетворяет условию , а корень 2 - не удовлетворяет.

Теперь найдем корни, которые принадлежат промежутку :

Это числа

Ответ: 1. ;

2.

Неверное решение.

Если мы будем решать неравенство тем же способом, что решали уравнение , то есть разделим обе части на  , то получим неравенство, не равносильное исходному:

Решение этого неравенства на тригонометрическом круге выглядит так:

Мы получили решение, отличное от предыдущего. При этом решении получится, что число 2 является корнем исходного уравнения.

В чем причина ошибки? Когда мы делили обе части неравенства на , мы не учли, что может быть меньше нуля. При делении на положительное число знак неравенства не меняется, а при делении на отрицательное, меняется на противоположный.

Строго говоря, при делении на мы получили такое неравенство:

В этом неравенстве знак левой части меняется в корнях числителя, то есть в корнях уравнения , и в корнях знаменателя, то есть в корнях уравнения , что для нас уже совершенно лишнее. Поэтому мы получили неверное решение.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.