Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
15 Сен 2014
14 Задание (2022) (C3)ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решение иррационального неравенства

Решим неравенство:  {x^3-27-9x(x-3)}/{delim{|}{x-15}{|}}>=sqrt{15-x}

1. Найдем ОДЗ:=0} {x<>15} }}{ }" title="delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{15-x>=0} {x<>15} }}{ }"/> ⇒  x<15

2. Раскроем модуль:

Так как согласно ОДЗ , следовательно, подмодульное выражение меньше нуля и раскрываем модуль с противоположным знаком.

x<15⇒delim{|}{x-15}{|}=15-x

(x^3-27-9x(x-3))/(15-x)>=sqrt{15-x}

3. Умножим обе части неравенства на 15-x  (15-x>0)

x^3-27-9x(x-3)>=sqrt{15-x}(15-x)

x^3-27-9x^2+27x>=(15-x)^{3/2}

x^3-9x^2+27x-27>=(15-x)^{3/2}

(x-3)^3>=(15-x)^{3/2}

Извлечем корень третьей степени из обеих частей неравенства. Это равносильный переход, он не приводит ни к потере решений, ни к приобретению посторонних.

x-3>=sqrt{15-x}

Решим это неравенство с помощью обобщенного метода интервалов. Для этого перенесем все влево:

x-3-sqrt{15-x}>=0

Найдем точки, в которых левая часть меняет знак - это точки в которых левая часть равна нулю:

x-3=sqrt{15-x}

Это иррациональное уравнение равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{(x-3)^2=15-x} {x-3>=0} }}{ }

Решим первое уравнение. Раскроем скобки и перенесем все слагаемые в одну сторону:

x^2-5x-6=0

В этом уравнении a+c=b, следовательно, x_1=-1, ~~x_2=-c/a=6

Нас интересует корень, удовлетворяющий условию x>3, это x=6.

Нанесем этот корень на числовую ось. В этой точке левая часть неравенства меняет знак. Одновременно учтем область допустимых значений:

Исследуем знаки. Возьмем число из самого левого промежутка, например, x=0, и подставим его вместо x в левую часть неравенства:

0-3-sqrt{15-0}<0

Следовательно, в самом левом промежутке левая часть неравенства меньше нуля, и в точке x=6 она меняет знак:

Нас интересует промежуток, на котором левая часть больше или равна нулю.

Ответ: [6;15)


И.В. Фельдман, репетитор по математике.


 

Для вас другие записи этой рубрики:

Решение иррационального неравенства
| Отзывов (2)

Отзывов (2)

  1. Юрий
    в 20:22

    Опечатка в знаменателе левой части исходного неравенства.
    Ответить
    • Инна
      в 09:52

      Спасибо, исправила)
      Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *