Задание 15. Решите неравенство
Решение.
При решении логарифмических неравенств на первом этапе мы стараемся привести все логарифмы к одному основанию. В данном неравенстве, если мы разделим обе части на выражение 
, то избавимся от переменного основания. Но при этом действии, в зависимости от знака выражения знак неравенства либо изменится на противоположный, либо нет. Найдем сначала ОДЗ исходного неравенства, чтобы понять, какие ограничения накладываются на 
.
Область допустимых значений исходного неравенства - это те значения , которые являются решениями системы:
Решим каждое неравенство системы.
Решение неравенства 
:
Решение неравенства 
Совместим на одной оси решение всех неравенств системы:
Итак, ОДЗ исходного неравенства: 
. При этих значениях 
, поэтому при делении на знак неравенства сохраняется. Разделим:
перейдем к новому основанию:
Мы видим, что неизвестное содержится в неравенстве в составе сходных выражений. Введем замену переменной - универсальное действие, которое точно не навредит.
Пусть 
, тогда 
.
Получим неравенство относительно 
:
Попытка привести логарифмы к одному основанию ни к чему хорошему не приводит.
Исследуем функцию 
Функция 
возрастает, так как основание логарифма больше 1, и она положительна, так как 
. Аналогично, функция 
возрастает, и она положительна при , так как 
. Произведение двух положительных возрастающих функций есть возрастающая положительная функция, следовательно, функция возрастает.
Если функция 
возрастает, то существует некое значение 
, такое, что 
, и при всех 
выполняется неравенство 
.
Найдем подбором.
при 
.
Следовательно,
при 
.
Вернемся к исходной переменной:
Получим решение:
С учетом ОДЗ ():
Ответ: [
)
И.В. Фельдман, репетитор по математике
Добавить комментарий