В этой статье мы рассмотрим решение логарифмических уравнений с логарифмом в показателе степени. Общий подход к решению уравнений этого типа я покажу на примере решения вот этого логарифмического уравнения:
Как всегда, сначала выпишем ОДЗ уравнения: 
Обе части уравнения строго больше нуля, и мы можем взять логарифм от правой и левой части. Собственно, уравнения с логарифмом в показателе степени в большинстве случаев решаются логарифмирование правой и левой части уравнения по тому же основанию, что и у логарифма в показателе степени. В нашем уравнении в показателе степени стоит десятичный логарифм, поэтому будем логарифмировать по основанию 10:
Вынесем показатели степени за знак логарифма:
Получили уравнение:
Для того, чтобы облегчить себе жизнь, введем замену :
Получим уравнение относительно t:
Решим биквадратное уравнение:
, 
, 
, 
, 
Вернемся к исходной переменной:
, 
, 
, 
Отсюда:
, 
, 
, 
Ответ: {10; 0,1; 100; 0,01}
А теперь давайте решим, с виду, очень простое уравнение:
Так как уравнение содержит логарифм в показателе степени, возьмем от правой и левой части уравнения логарифм по основанию х (как у логарифма в показателе степени):
Вынесем показатель степени за знак логарифма:
"Растащим" выражения, стоящие под знаком логарифма - наша задача разложить их на простые "кирпичики":
Мы видим, что неизвестное 
присутствует в уравнении в составе двух выражений:
и 
Чтобы структура уравнения стала более "прозрачной", введем замену:
и 
Получим уравнение:
Приведем его к виду
И решим как квадратное относительно 
Теперь можем вернуться к исходным переменным:
, 
, 
, 
, 
Вот такое длинное решение получилось у такого коротенького уравнения.
Ответ: ,
Решение логарифмических уравнений остальных типов мы рассмотрим здесь и здесь
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Добавить комментарий