Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
19 Апр 2014
14 Задание (2022) (C3)Диагностические работыИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Задание С3 из пробника ЕГЭ С-Петербург 15.04.2014

Решим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_x{(x^3-1)}<=log_x({x^3} +2x-4)} {sqrt{3*4^x-5*2^{x+1}+3}>=2^x-3} }}{ }

Решим первое неравенство системы.

log_x{(x^3-1)}<=log_x({x^3} +2x-4)

Это логарифмическое неравенство с переменным основанием. Оно равносильно системе (первые четыре неравенства системы - ОДЗ неравенства):

delim{lbrace}{matrix{5}{1}{{x>0} {x<>1} {x^3-1>0}{x^3+2x-4>0}{(x-1)((x^3-1)-(x^2-2x+4))<=0}}}{ }

Эта система равносильна следующей:

delim{lbrace}{matrix{5}{1}{ {x>1} {x^3+2x-4>0}{(x-1)(-2x+3)<=0}}}{ },

которая, в свою очередь, равносильна этой:

delim{lbrace}{matrix{5}{1}{ {x>1} {x^3+2x-4>0}{x>=3/2}}}{ }

Второе неравенство системы x^3+2x-4>0 верно при  x>=3/2. Это становится очевидным, если попытаться решить  неравенство x^3>-2x+4 графически:

Следовательно, решение первого неравенства исходной системы x>=3/2.

Решим второе неравенство исходной системы.

sqrt{3*4^x-5*2^{x+1}+3}>=2^x-3

Приведем все степени к основанию 2:

sqrt{3*2^{2x}-5*2*2^{x}+3}>=2^x-3

И введем замену переменной: t=2^x, ~~t>0:

sqrt{3t^2-10t+3}>=t-3

Это иррациональное неравенство, оно равносильно совокупности двух систем:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t-3>=0} {3t^2-10t+3>=(t-3)^2} }}{ } (1)

или

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t-3<0} {3t^2-10t+3>=0} }}{ } (2)

Решим систему (1). Начнем со второго неравенства:

3t^2-10t+3>=t^2-6t+9

2t^2-4t-6>=0 

t^2-2t-3>=0

С учетом первого неравенства системы получаем решение:

t>=3

2^x>=3

x>=log_2{3}

Решим систему (2).

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t-3<0} {3t^2-10t+3>=0} }}{ } (2)

Начнем со второго неравенства:

3t^2-10t+3>=0

t_1=1/3;~~t_2=3

С учетом первого неравенства:

Получаем t<=1/3

2^x<=1/3

x<-log_2{3}

Изобразим решение второго неравенства исходной системы на координатной прямой:

Чтобы совместить решение первого неравенства  ( x>=3/2) и второго неравенства на одной координатной прямой, сравним числа 3/2 и log_2{3}

3/2~~~~~~log_2{3}

2^{3/2}~~~~~~3

2^3~~~~~~~3^2

Очевидно, что 2^3<3^2, следовательно, 3/2<log_2{3}.

Итак, получаем такую картинку:

Ответ: delim{[}{log_2{3};{infty}}{)})

Для вас другие записи этой рубрики:

Задание С3 из пробника ЕГЭ С-Петербург 15.04.2014
| Отзывов (17)

Отзывов (17)

← Предыдущие комментарии
  1. Андрей
    в 10:12

    Добрый день! А нельзя ли было с помощью производной установить сначала возрастание функции y = x^3 + 2x — 4 при x > 0, а затем, в силу того, что y(1) < 0, сделать вывод, что и на интервале (0;1) y < 0. Таким способом мы могли бы обойтись без непосредственного решения неравенства.
    Ответить
    • Инна
      в 14:00

      Можно и так
      Ответить
  2. Ирина
    в 14:46

    Инна Владимировна, скажите, пожалуйста, почему Вы не решали второе неравенство системы обобщенным методом интервалов? Я попробовала, но потерялись отрицательные корни. Есть какие-то ограничения при использовании этого метода?
    Ответить
    • Инна
      в 16:10

      Ирина, большое спасибо за вопрос. Не решала, потому что в то время активно им не пользовалась. Но я когда записывала видео по обобщенному методу интервалов тоже споткнулась об один похожий пример. Именно иррациональное неравенство в котором корень больше чего-то. Да, это особый случай — здесь при отрицательной правой части решением будет ОДЗ. Поэтому надо начинать с ОДЗ, а потом проверять знак на всех участках ОДЗ. Надо будет добавить этот кусочек.
      Ответить
← Предыдущие комментарии

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *