Как сравнивать логарифмы с разным основанием

Как сравнивать логарифмы с разным основанием.

При решении показательных и логарифмических неравенств нередко возникает необходимость сравнить логарифмы с разным основанием.

Рассмотрим, как это сделать.

Пример 1. Сравнить и .

Чтобы сравнить эти логарифмы, нужно найти число, которое стоит на числовой прямой между  и .

Нетрудно увидеть, что ,

То есть , следовательно, 

Чаще ситуация выглядит сложнее.

Пример 2. Сравнить  и .

Так как , следовательно, . Аналогично,  , следовательно, .

То есть значение обоих логарифмов - дробное число, лежащее в пределах от 1 до 2. Подобрать промежуточное число, которое стоит на числовой прямой между и  уже сложнее.

Поступим так. Предположим, в знаменателе промежуточного числа стоит 2. Умножим оба логарифма на 2, то есть сравним числа

и 

Перенесем 2 в показатель степени:

и 

и 

Теперь нетрудно увидеть, что ,  следовательно, .

Если умножение на 2 не приводит к желаемому результату, нужно попытаться умножить на 3, потом на 4  и т.д.

Пример 3. В некоторых случаях прежде чем сравнивать логарифмы, нужно выполнить определенные преобразования.

Сравнить  и 

Так как , мы можем преобразовать логарифм с основанием 2:

Итак, мы сравниваем числа  и .

Прибавим к обоим числам 2:

и 

Преобразуем: 

Теперь нам нужно сравнить числа

и 

Значение обоих логарифмов - дробное число, принадлежащее промежутку .

Предположим, в знаменателе промежуточного числа стоит 2. Умножим оба логарифма на 2, то есть сравним числа

и 

Перенесем 2 в показатель степени:

и 

и 

, следовательно, .

, следовательно, .

Получили, что , следовательно, .

Репетитор по математике Инна Владимировна Фельдман.