Рассмотрим решение Задания 18 из Тренировочной работы МИОО 18 декабря 2015 года.
Найдите все значения параметра 
, при каждом из которых система
имеет единственное решение.
Решение.
Преобразуем каждое уравнение системы. Раскроем скобки в левой части и выделим полный квадрат.
1 уравнение:
Мы получили уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом 
2 уравнение:
Мы получили уравнение окружности с центром в точке 
и радиусом 
Система имеет единственное решение, если эти окружности имеют единственную общую точку, то есть если они касаются друг друга
внутренним образом:
или внешним:
В первом случае расстояние между центрами окружностей 
,
или 
(1)
Во втором случае расстояние между центрами окружностей
или 
(2)
Расстояние между точками 
и 
находится по формуле:
Отсюда получим
Легко показать, что 
, если и 
имеют одинаковые знаки, и 
, если и имеют разные знаки.
, если и имеют одинаковые знаки, и 
, если и имеют разные знаки.
С учетом этих свойств преобразуем равенство (1):
И равенство (2):
Таким образом, исходная система имеет единственное решение, если параметр удовлетворяет следующей совокупности:
Решим каждое уравнение совокупности:
1)
2)
- разделим на 3
Сумма коэффициентов равна нулю, следовательно, 
Ответ: {
}
И. В. Фельдман, репетитор по математике.
Инна, как определить, что а + 1 и а + 2 должны иметь одинаковые знаки?
Елена, полагаю, что эта ситуация аналогична той, когда мы вычисляем корни квадратного уравнения. Если
, то мы не пишем 
и раскрываем модуль, а просто 
Я сама в этом месте задумалась. Может кто-то прочитает вопрос и объяснит более четко)
Ужос Ужос…
Берём неявные производные для функций (это эллипсы), приравниваем их друг другу и решаем систему из трёх уравнений, состоящих из двух исходных и равенства производных. Успехов в работе!