Задача с параметром. Задание С5

Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет больше двух корней.

Рассмотрим это уравнение как квадратное относительно выражения .

Сумма корней по теореме Виета равна 3, а произведение равно .

Отсюда первый корень равен , а второй .

Так как мы решаем уравнение относительно выражения , получаем совокупность уравнений:

Перепишем уравнения в виде:

Рескроем модули: для этого рассмотрим два случая, когда и . Отдельно рассмотрим случай .

1)

Первое уравнение имеет один корень , второе

, то есть совокупность имеет три решения, что нас устраивает.

2) . В этом случае раскрываем модули с тем же знаком. Получаем совокупность:

Если правые части наших уравнений равны, то есть если , то два уравнения совокупности превращаются в одно уравнение, которое не может иметь больше двух решений, поэтому

нам не подходит.

Перепишем совокупность в виде:

Чтобы определить количество корней, найдем дискриминанты в каждом уравнении. Так как второй коэффициент четный, будем искать .

Итак, во втором уравнении , следовательно второе уравнение имеет два корня при любых значениях . Чтобы совокупность имела больше двух решений, первое уравнение должно иметь хотя бы один корень, то есть дискриминант должен быть .

Во первом уравнении .

Итак, учитывая условие , получаем,

3)

В этом случае раскрываем модули с противоположным знаком.

Получаем совокупность:

Или:

В первом уравнении левая часть представляет собой полный квадрат, поэтому первое уравнение имеет одно решение при любых значениях . Следовательно, второе уравнение должно иметь два корня, то есть дискриминант должен быть больше нуля.

Во втором уравнении .

Объединяем решения трех случаев, и записываем ответ:

Ответ:

И.В. Фельдман, репетитор по математике.