Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
26 Мар 2014
17 Задание (2022) (C6)Диагностические работыЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ

Задание С5 из диагностической работы 13 марта 2014 года.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение delim{|}{(x-1)^2-2^{1-a}}{|}+delim{|}{x-1}{|}+(1-x)^2+2^{a-1}=4+4^a  имеет единственное решение.
Найдите это решение для каждого значения a.

Заметим, что в этом уравнении неизвестное x входит в составе выражения x-1. Введем замену, пусть x-1=t.

Получим уравнение delim{|}{t^2-2^{1-a}}{|}+delim{|}{t}{|}+t^2+2^{a-1}=4+4^a.  (1)

В этом уравнении переменная t стоит либо под знаком модуля, либо в квадрате. Поэтому если число t_0 является корнем уравнения, то число -t_0 также будет корнем уравнения. Следовательно если уравнение имеет единственное решение, то это решение  t_0=0. (Если t_0 не равно нулю, то у нас неизбежно появляется второй корень  -t_0.)

Найдем, при каких значениях a корень уравнения t=0.

Подставим в уравнение t=0 и найдем соответствующие значения a.

delim{|}{-2^{1-a}}{|}+2^{a-1}=4+4^a

Так как -2^{1-a}<0 при любом значении a, то delim{|}{-2^{1-a}}{|}=2^{1-a}.

Получим уравнение относительно a:

2^{1-a}+2^{a-1}=4+4^a

2/{2^a}+{2^a}/2-4-2^{2a}=0

Введем замену: 2^a=y, ~~y>0 и получим уравнение:

2/{y}+{y}/2-4-y^2=0

Умножим на 2y

4+y^2-8y-2y^3=0

Разложим на множители с помощью группировки:

(4-8y)+(y^2-2y^3)=0

4(1-2y)+y^2(1-2y)=0

(4+y^2)(1-2y)=0

Отсюда y=1/2.

Вернемся к исходной переменной: 2^a=1/2,~~a=-1

Итак, при a=-1  t=0. Проверим, нет ли других корней при a=-1. Подставим a=-1 в уравнение (1)

Получим delim{|}{t^2-2^{1-(-1)}}{|}+delim{|}{t}{|}+t^2+2^{-1-1}=4+4^(-1)

Решим это уравнение.

delim{|}{t^2-4}{|}+delim{|}{t}{|}+t^2+1/4=4+1/4

delim{|}{t^2-4}{|}+delim{|}{t}{|}+t^2-4=0

Раскроем модули. Подмодульные выражения меняют знак в точках 0;~~2;~~-2

 Решим уравнение на каждом промежутке.

1) t<=-2

t^2-4-t+t^2-4=0

или 2(t^2-4)=t. На этом промежутке левая часть равенства больше или равна 0, правая <=0, и одновременно не могут быть равны нулю, следовательно, на данном промежутке корней нет.

Аналогично доказываем, что нет корней при  t>=-2

2) -2<=t<=0

-t^2+4-t+t^2-4=0, отсюда t=0.

Аналогично при 0<=t<=2 получаем t=0.

То есть при a=-1 уравнение (1) имеет единственный корень t=0, то есть x-1=0,~~x=1

Ответ: при a=-1, ~~x=1

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Задание С5 из диагностической работы 13 марта 2014 года.
| Отзывов (9)

Отзывов (9)

  1. Елена
    в 16:01

    Инна, настолько хорошее и доступное пониманию решение, что просто «лейся песня». Спасибо огромное.
    Ответить
    • Инна
      в 16:07

      )))
      Ответить
  2. Маша
    в 12:57

    //ege-ok.ru/wp-content/plugins/wpmathpub/phpmathpublisher/img/math_993_8022eea6640db373b2f07a5be4d6be24.png — почему так? если a=1, получится 2 в нулевой степени, т.е. 1, и совсем не меньше нуля..
    Ответить
    • Инна
      в 13:08

      Показательная функция всегда больше нуля.
      Ответить
  3. алена
    в 11:47

    а в другом примере -2 в степени -а-1 по модулю будет также положительно(2 в степени -а-1)?
    Ответить
    • Инна
      в 13:32

      да
      Ответить
  4. Юлия
    в 18:57

    Мне кажется, что нужно еще добавить проверку, действительно ли при таком a единственный корень. Что мешает при таком a иметь еще и положительные корни?
    Ответить
    • Инна
      в 13:02

      Пожалуй. Добавила.
      Ответить
  5. Артём
    в 13:00

    4+4^a Я бы не стал переносить. Тогда получается уравнение 2/2^a+2^a/2=4+4^a
    Складываем дроби: 2*2+2^a*2^a/2*2^a=4+4^a
    Перемножаем:(4+4^a)/2^a+1=4+4^a
    Сокращаем: 1/2^a+1=1
    Переносим:2^a+1=1 => a=-1
    По мне, так это гораздо проще групировки
    Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *