Задача с параметром. Задание 18 из т/р №159 А. Ларина

Будем решать задачу с помощью графиков.

Построим график первого уравнения. Это уравнение равносильно системе:

   

   

 Начнем с ограничений на ОДЗ.

Точки, удовлетворяющие неравенству , лежат справа от прямой .

Области, точки которых удовлетворяют неравенству  ограничены прямыми . Методом пробной точки определим нужную нам область. 

Итак, ОДЗ исходного уравнения удовлетворяют точки, лежащие в желтых областях. Так как границы областей не принадлежат ОДЗ,  они изображены пунктирными линиями:

Построим график функции

1 ОДЗ:

2. Функция  - нечетная, следовательно, график функции симметричен относительно начала координат.

3. График не имеет точек пересечения с осями координат: , уравнение не имеет решений.

4. Промежутки знакопостоянства: при , при .

5. Асимптоты. 

Вертикальная асимптота:

Уравнение наклонной асимптоты:

Итак, уравнение наклонной асимптоты .

6. Возрастание-убывание.

 

при

Построим график:

Не забываем выколоть току пересечения графика с прямой .

Теперь изобразим графически второе уравнение исходной системы.

Это уравнение равносильно совокупности:

   

   

Графиком первого уравнения совокупности является множество прямых с переменным коэффициентом наклона и общей точкой .

Графиком второго уравнения совокупности является множество прямых с переменным коэффициентом наклона и общей точкой .

Так как коэффициента наклона у обоих прямых одинаковые, при изменении параметра , мы при каждом значении параметра получаем пару параллельных прямых.

Остается выяснить, при каких значениях параметра  эти две параллельные прямые имеют ровно две точки пересечения с графиком функции.

Мы видим, что при верхняя прямая имеет одну точку пересечения с графиком функции, а нижняя - ни одной (точка не принадлежит графику) - этот случай нам не подходит.

При верхняя прямая имеет две точки пересечения с графиком функции, а нижняя ни одной:

При  верхняя прямая имеет одну пересечения с графиком функции, а нижняя все еще ни одной - этот случай нам не подходит.

При верхняя и нижняя прямые имеют по одной точке пересечения с графиком функции:

При нижняя прямая имеет всегда одну точку пересечения с графиком функции, а верхняя - или ни одной, или одну в том случае, если является касательной, или две если она пересекает график.

При две параллельные прямые имеют две точки пересечения с графиком функции только в том случае, если верхняя прямая является касательной к нижней части графика:

Найдем, при каком значении параметра прямая имеет с графиком функции одну общую точку.

Умножим обе части уравнения на :

Получим квадратное уравнение:

Квадратное уравнение имеет единственное решение, если .

Нас устраивает значение

Ответ: {}