Решим задачу из Задания С5 для подготовки к ЕГЭ по математике:
Найдите все значения параметра 
,при каждом из которых уравнение 
имеет единственное решение.
Будем решать задачу графическим способом. Оставим корень слева, а все остальное перенесем вправо. Представим наше уравнение в виде системы
Построим график каждой функции и найдем, при каком значении параметра графики имеют единственную точку пересечения.
Первая функция: 
Вынесем за скобку:
График этой функции представляет из себя семейство прямых, которые имеют различный коэффициент наклона и общую точку с координатами (2;3):
Вторая функция: 
Преобразуем выражение под корнем - выделим полный квадрат:
График функции 
представляет из себя полуокружность с центром в точке (-4;0) и радиусом 3.
Определим, при каком коэффициенте наклона прямая имеет с полуокружностью одну точку пересечения:
Мы видим, что прямые, заключенные между прямыми 
и 
имеют с полуокружностью одну общую точку. Прямая имеет одну общую точку, а прямая - две. Прямая 
также имеет с полуокружностью одну общую точку.
Найдем коэффициенты наклона этих прямых. Для этого мы рассмотрим соответствующие прямоугольные треугольники:
Коэффициент наклона прямой равен 1.
Коэффициент наклона прямой равен 3/9=1/3.
Коэффициент наклона прямой равен нулю.
Итак, прямая и полуокружность имеют одну общую точку, если 
и 
.
Умножим первое неравенство на -1 и получим
Ответ: 
Здравствуйте, Инна Владимировна. Я уже два дня мучаюсь с аналогичным заданием: При каких значениях а уравнение а(х-3)+ 5= под корнем (6х-х^2) уравнеие имеет ровно два решения?. Я построила графики: полуокружность с центром (3;0) и радиусом , равным 3 и семейство прямых, проходящих через точку (3;5). Далее очень трудно сообразить. Я понимаю. что а=5/3 играет роль, но не доходит и все!! Голова пухнет. Если будет время и желание, буду Вам очень признательна за помощь. Я затрудняюсь показать семейство прямых с окружностью, не вижу, когда будут две общие точки этих графиков.Спасибо.
Посмотри рисунок:
В желтой области 2 решения
Координаты точки D можно найти, например, через вектора: вектор CD перпенд вектору AD и |AD|=3
Огромное Вам спасибо, Инна Владимировна! У меня такой же рисунок. Вот не понимаю и все тут.Координаты точек D и В нужны для того, чтобы составить уравнение касательных? Допустим, я составлю, правда не совсем соображу как найти координаты этих точек, а дальше?
Координаты точки D можно найти, например, через вектора: вектор CD перпенд вектору AD и |AD|=3
Пусть координаты точки D(x1;y1)
Тогда координаты вектора CD(x1-3;y1-5)
Координаты вектора AD(x1-3;y1-0)
Скалярное произведение векторов (сумма произведений одноименных координат) равно нулю — запиши первое уравнение.
Длина AD=3, то есть (x1-3)^2+(y1-0)^2=9 — второе уравнение
Решим систему, получишь координаты точки D. Точка А симметрична этой точке относительно прямой х=3
Инна Владимировна, скажите, пожалуйста, откуда мы получаем, что график такого вида y=a(2-x)+3 — это семейство прямых и откуда мы берем эту точку, вокруг которой они вращаются?
Прямая
получается из прямой 
сдвигом на 
единиц вправо и на 
единиц вверх. То есть точка (0,0) переходит в точку 
k
(a,b)
y=kx$.
Инна Владимировна, а почему мы не рассматриваем случай, когда а отрицательное число? Там будет прямая с наклоном в другую сторону, соответственно это даст нам еще один отрезок с решениями…
Все, понял, у вас по-другому получается, у меня точка В в другом месте(другое уравнение) и тогда там оба наклона подходят.
Огромное спасибо за Вашу работу.