Задание 18. Найдите все значения 
, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень.
(из сборника 50 вариантов ЕГЭ 2016 под ред. И. Ященко)
Решение.
Перепишем исходное уравнение в таком виде:
Введем замену переменной 
. Эта замена не облегчит жизнь принципиально, но немного упростит уравнение.
Получим:
Мы очевидным образом можем оценить значение выражения 
: 
. Заметим, что наименьшее значение, равное 10, выражение принимает при 
.
Теперь перепишем уравнение в таком виде:
Итак, левая часть этого уравнение принимает наименьшее значение, равное 10 при .
Оценим правую часть.
Рассмотрим функцию 
.
Если 
, то 
. При этом, с каким бы знаком мы ни раскрыли первый модуль, получится линейная функция, у которой коэффициент при 
будет больше нуля. Следовательно, при функция возрастает.
Если 
, то 
. При этом, с каким бы знаком мы ни раскрыли первый модуль, получится линейная функция, у которой коэффициент при будет меньше нуля. Следовательно, при 
функция убывает.
Отсюда следует, что функция принимает наибольшее значение в точке , и оно равно 
.
Исходное уравнение будет иметь решения, если 
.
Теперь осталось найти, при каких значениях выполняется неравенство 
При 
:
:
При 
:
:
Ответ: [
]; [
]
, при каждом из которых уравнение
Спасибо огромное! 3 часа решала эту задачу. на середине застревала. А тут так всё просто и красиво))
Здравствуйте, уважаемая Инна Владимировна!
Может быть я не права,но мне кажется, что параметр а не может быть отрицательным, т.к.исходное уравнение при этом не будет иметь решения. Ведь левая часть больше или равна нулю, а в правой части сумма двух слагаемых одно из которых также неотрицательно.
Где я ошибаюсь?
Например, -2+5>0, при том, что первое слагаемое отрицательно.
Спасибо!