В этой статье мы рассмотрим задачу с параметром, решение которой основано на использовании ограниченности функции.
Найдите наибольшее значение параметра 
, при котором следующее неравенство имеет хотя бы одно решение:
.
Решение. показать
Преобразуем исходное неравенство:
Умножим обе части на 
:
Для левой части неравенства воспользуемся следующим свойством неотрицательных чисел:
, причем 
только если 
.
Тогда для левой части нашего неравенства справедливо соотношение:
отсюда:
Значит,
Таким образом, чтобы исходное неравенство имело хотя бы одно решение, параметр должен удовлетворять неравенству:
.
Далее, так как 
, следовательно,
Получим следующее ограничение на параметр :
.
Решим это неравенство относительно параметра и найдем наибольшее значение параметра, удовлетворяющее неравенству:
Отсюда 
[
].
Наибольшее значение , удовлетворяющее условию задачи 
.
Ответ:
И.В. Фельдман, репетитор по математике
, при котором следующее неравенство имеет хотя бы одно решение:
.
Инна, когда вы используете неравенство Коши, то в теории вы забыли двойку справа, которая появляется при умножении обеих частей неравенства. (Изначально слева идёт среднеарифметическое, т. е. полусумма чисел). В решении вы про неё вспомнили. Может быть, конечно, я придираюсь, но ученикам, разбирающим решение может быть непонятно откуда она взялась.
Конечно, это опечатка. Большое спасибо!
Во-первых, если сразу отметить, что a — положительно (именно положительно, т.к. при равенстве нулю неравенство не имеет смысла), и выполнить несложные сокращения и извлечение корня, то все последующее будет гораздо менее громоздко/пугающе.
Во-вторых, Вы доказали только то, что a не может быть больше 1/9. А что, если x-4 заменить на x-3.5, ответ тоже будет a=1/9 ?