Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
19 Апр 2014
14 Задание (2022) (C3)Диагностические работыИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Задание С3 из пробника ЕГЭ С-Петербург 15.04.2014

Решим систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{log_x{(x^3-1)}<=log_x({x^3} +2x-4)} {sqrt{3*4^x-5*2^{x+1}+3}>=2^x-3} }}{ }

Решим первое неравенство системы.

log_x{(x^3-1)}<=log_x({x^3} +2x-4)

Это логарифмическое неравенство с переменным основанием. Оно равносильно системе (первые четыре неравенства системы - ОДЗ неравенства):

delim{lbrace}{matrix{5}{1}{{x>0} {x<>1} {x^3-1>0}{x^3+2x-4>0}{(x-1)((x^3-1)-(x^2-2x+4))<=0}}}{ }

Эта система равносильна следующей:

delim{lbrace}{matrix{5}{1}{ {x>1} {x^3+2x-4>0}{(x-1)(-2x+3)<=0}}}{ },

которая, в свою очередь, равносильна этой:

delim{lbrace}{matrix{5}{1}{ {x>1} {x^3+2x-4>0}{x>=3/2}}}{ }

Второе неравенство системы x^3+2x-4>0 верно при  x>=3/2. Это становится очевидным, если попытаться решить  неравенство x^3>-2x+4 графически:

Следовательно, решение первого неравенства исходной системы x>=3/2.

Решим второе неравенство исходной системы.

sqrt{3*4^x-5*2^{x+1}+3}>=2^x-3

Приведем все степени к основанию 2:

sqrt{3*2^{2x}-5*2*2^{x}+3}>=2^x-3

И введем замену переменной: t=2^x, ~~t>0:

sqrt{3t^2-10t+3}>=t-3

Это иррациональное неравенство, оно равносильно совокупности двух систем:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t-3>=0} {3t^2-10t+3>=(t-3)^2} }}{ } (1)

или

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t-3<0} {3t^2-10t+3>=0} }}{ } (2)

Решим систему (1). Начнем со второго неравенства:

3t^2-10t+3>=t^2-6t+9

2t^2-4t-6>=0 

t^2-2t-3>=0

С учетом первого неравенства системы получаем решение:

t>=3

2^x>=3

x>=log_2{3}

Решим систему (2).

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{t-3<0} {3t^2-10t+3>=0} }}{ } (2)

Начнем со второго неравенства:

3t^2-10t+3>=0

t_1=1/3;~~t_2=3

С учетом первого неравенства:

Получаем t<=1/3

2^x<=1/3

x<-log_2{3}

Изобразим решение второго неравенства исходной системы на координатной прямой:

Чтобы совместить решение первого неравенства  ( x>=3/2) и второго неравенства на одной координатной прямой, сравним числа 3/2 и log_2{3}

3/2~~~~~~log_2{3}

2^{3/2}~~~~~~3

2^3~~~~~~~3^2

Очевидно, что 2^3<3^2, следовательно, 3/2<log_2{3}.

Итак, получаем такую картинку:

Ответ: delim{[}{log_2{3};{infty}}{)})

Для вас другие записи этой рубрики:

Задание С3 из пробника ЕГЭ С-Петербург 15.04.2014
| Отзывов (17)

Отзывов (17)

Следующие комментарии →
  1. Артём
    в 05:05

    Вы не учли область определения подкореного выражения второго уравнения системы. а тогда получается ответ такой же но только с круглыми скобками —> (логарифм 3 по основанию 2; + бесконечность)
    Ответить
    • Инна
      в 07:14

      При решении второго неравенства мы записываем не одз, а условие, что правая часть больше или равна нуля, ответ правильный.
      Ответить
  2. Полина
    в 13:26

    ой, а Вы не могли бы скинуть ссылку на эти варианты?
    Ответить
  3. Никита
    в 21:33

    А как вы графически решили и ответ получили такой ?
    Ответить
    • Никита
      в 21:47

      Про неравенство понял уже.
      Как мы сравнили 3/2 и лоагрифм 3 по основанию 2 ? Я переходы не понимаю.
      Ответить
      • Никита
        в 21:49

        Уже и это понял.
        Спасибо за статью.
        Ответить
  4. Настя
    в 01:11

    Объясните ,пожалуйста, почему когда вы находили решение этого
    (x-1)(-2x+3)меньше либо равно 0, то у вас получилось только x больше либо равно 3/2, ведь при решении первого множителя (x-1) получится, что x меньше либо равен 1?
    Ответить
    • Инна
      в 11:59

      ОДЗ!
      Ответить
  5. Руслан
  6. Далер
    в 11:48

    |2x+7|-3x-4/x+5-|5x-7|<_0
    ПОЖАЛУЙСТА ПОМОГИТЕ С ЭТОЙ ЗАДАЧКОЙ ИННА
    Ответить
    • Инна
      в 12:23

      Нужно раскрыть модули: //ege-ok.ru/2012/02/03/reshenie-uravneniy-s-modulem-zadaniya-s1-s3/
      На каждом промежутке решить систему, состоящую из соответствующего неравенства и ограничения на х
      Ответить
  7. Далер
    в 08:35

    Спасибо вам
    Ответить
Следующие комментарии →

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *