Давайте разберем решение непростой задачи на смеси (А. Ларин, вариант 98)
В 8-литровой колбе находится смесь азота и кислорода, содержащая 32% кислорода. Из колбы выпустили некоторое количество смеси и добавили столько же азота; затем снова выпустили такое же, как и в первый раз, количество новой смеси и добавили столько же азота. В итоге процентное содержание кислорода в новой смеси составило 12,5%. Сколько литров смеси выпускали каждый раз?
Весь процесс решения задачи, вернее, все состояния смеси, мы запишем в таблицу.
Столбцы таблицы: объем смеси, масса чистого вещества, процентное содержание этого чистого вещества.
Строки - текущие состояния смеси, описанные в задаче.
Заметим, что в колбу добавляли азот, а в условии дано процентное содержание кислорода. Помним, что процентное содержание должно быть того чистого вещества, изменение содержания которого мы заносим в таблицу. Поскольку нам проще следить за содержанием азота, процентное содержание будет также азота. То есть исходная смесь содержала 100-32=68% азота.
Итак, исходное состояние смеси:
Пусть из колбы выпустили 
литров смеси. Эти литров смеси содержали 
граммов чистого азота. То есть в колбе осталась такая смесь:
Затем в колбу добавили литров чистого азота, и получили такую смесь (чтобы найти процентное содержание азота в новой смеси мы массу чистого азота разделили на объем смеси и умножили на 100%):
Упростим выражение для процентного содержания:
Из колбы опять выпустили литров смеси с процентным содержанием азота 
, то есть выпустили 
граммов чистого азота:
и снова добавили литров чистого азота:
В результате получили смесь, в которой процентное содержание азота составило 100-12,5=87,5%.
Так как объем смеси остался прежним, то есть 8 литров, мы можем найти массу чистого азота в новой смеси. Она равна 
Мы получили уравнение:
Решим это уравнение. Умножим обе части на 100:
Так как количество выпускаемой смеси не может быть больше ее объема, то есть восьми литров, нам подходит 
Ответ: 3
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Инна, огромное спасибо за столь подробное решение задачи.Всё последовательно и логично изложено!
0,32 — первоначальная доля кислорода в смеси.
0,32*(8-х)/8 — доля кислорода в смеси после первого выпуска смеси и добавления азота.
0,32*((8-х)/8)^2 — доля кислорода в смеси после второй такой же процедуры.
По условию:
0,32*((8-х)/8)^2 = 0,125 —> х = 3
Уважаемая Инна Владимировна! Буду Вам благодарен, если выскажите свое мнение насчет такого короткого решения этой задачи.
Да, супер! Прокомментируйте, пожалуйста, ваше решение.
Здравствуйте!
Все просто. Всякий раз, когда из смеси мы выпускаем объем Х, то от каждой компоненты (сколько бы их ни было) выходит доля Х/8 , а остается доля (8-Х)/8 , т.к. смесь однородная. Поэтому после каждой процедуры предыдущую долю компоненты умножаем на (8-Х)/8 , чтобы узнать сколько осталось.
Например, если бы выпусков было не 2, а 10, то после них доля кислорода в смеси получилась бы 0,32*((8-Х)/8)^10 и т.д.
P.S. Задачу можно несколько усложнить.
Пусть
V — объем колбы.
W — объем смеси, выпускаемой каждый раз.
k — начальное процентное содержание кислорода в смеси.
p = k/100
m — процентное содержание кислорода после n-ной процедуры.
q = m/100
n — число процедур.
Найти через сколько процедур n, процентное содержание кислорода будет равно m.
Тогда, p*((V-W)/V)^n = q
Отсюда n = log q/p по основанию (V-W)/V
Задачу в такой постановке, видимо, можно решить рационально только этим способом.
Спасибо!
Ильяс, спасибо большое! Очень полезный комментарий!
Спасибо за решение,Инна. Я сама решала таким же способом, но относительно изменения объема кислорода. А решение Ильяса гениально-просто и красиво. МОЛОДЕЦ!
Уважаемая Инна! По-моему Ваше решение слишком сложное. У Ильяса больше логики. Предлагаю стандартное решение. только относительно кислорода.
смесь кислород доля кислорода
8 2,56 (нетрудно высчитать 0,32
-х -0,32х
8 2.56-0,32х 2,56-0,32х/8
-х -(2,56-0,32х)х/8
8 (2,56-0,32х)(8-х)/8 (2,56-0,32х)(8-х)/8*8 =1/8
Далее такое же квадратное уравнение как у Вас. Спасибо Вам за интересные задания и красивые решения.