Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
23 Янв 2015
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Иррациональность в знаменателе

Если дробь содержит корень в знаменателе, то мы говорим об иррациональности в знаменателе дроби. Часто бывает необходимо освободиться от иррациональности в знаменателе дроби. То есть заменить исходную дробь, содержащую иррациональность в знаменателе на тождественно равную ей дробь, которая иррациональность не содержит. Как это сделать?

Общее правило такое: нужно числитель и знаменатель дроби умножить на выражение, сопряженное знаменателю дроби.

Выражение А называется сопряженным иррациональному выражению В, если произведение АВ не содержит знака корня, то есть произведение АВ является рациональным числом.

Рассмотрим примеры сопряженных выражений.

1. Иррациональное выражение В содержит квадратный корень.

Возможны два случая:

a) B=sqrt{a}. В этом случае A=sqrt{a}: AB=sqrt{a}*sqrt{a}=a

Например, чтобы исключить иррациональность из знаменателя в дроби 5/sqrt{3}, нужно числитель и знаменатель дроби умножить на sqrt{3}, получим {5*sqrt{3}}/{sqrt{3}*sqrt{3}}={5sqrt{3}}/3

Внимание! Обязательно умножаем на выражение, сопряженное знаменателю и числитель, и знаменатель дроби - только в этом случае мы получим дробь, тождественно равную исходной. 

б) B=sqrt{a}{pm}sqrt{b}, a>=0;~~b>=0, a<>b

В этом случае сопряженным выражением будет дополняющее B=sqrt{a}{pm}sqrt{b} до разности квадратов:

Для выражения sqrt{a}+sqrt{b} сопряженным будет sqrt{a}-sqrt{b}: (sqrt{a}+sqrt{b})(sqrt{a}-sqrt{b})=a-b

Соответственно, для выражения sqrt{a}-sqrt{b} сопряженным будет sqrt{a}+sqrt{b}: (sqrt{a}-sqrt{b})(sqrt{a}+sqrt{b})=a-b

Например, исключим иррациональность из знаменателя дроби 2/{2-sqrt{3}}

Для этого умножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю, то есть на 2+sqrt{3}

Получим: 2/{2-sqrt{3}}={2*(2+sqrt{3})}/{(2-sqrt{3})(2+sqrt{3})}={2(2+sqrt{3})}/{4-3}=2(2+sqrt{3})

 

2.  Иррациональное выражение В содержит корень n-й степени: root{n}{x^m}

В этом случае сопряженное выражение A=root{n}{x^{n-m}}:

AB=root{n}{x^m}root{n}{x^{n-m}}=root{n}{x^{n}}=x

Пример: исключим иррациональность из знаменателя дроби 3/{root{5}{7^3}}

Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение root{5}{7^ {5-3}}=root{5}{7^ {2}}. Получим:

{3*{root{5}{7^ {2}}}}/{{root{5}{7^3}}*{root{5}{7^ {2}}}}={3*{root{5}{7^ {2}}}}/{{root{5}{7^5}}}={3{root{5}{7^ {2}}}}/7

3. Иррациональное выражение В является одним из множителей в разложении на множители разности или суммы кубов. В этом случае сопряженным ему выражением будет второй множитель:

(root{3}{a}+root{3}{b})(root{3}{a^2}-root{3}{a}root{3}{b}+root{3}{b^2})=a+b

(root{3}{a}-root{3}{b})(root{3}{a^2}+root{3}{a}root{3}{b}+root{3}{b^2})=a-b

Исключим иррациональность из знаменателя дроби:

1/{root{3}{3}-root{3}{2}}={root{3}{3^2}+root{3}{3}root{3}{2}+root{3}{2^2}}/{({root{3}{3}-root{3}{2}})({root{3}{3^2}+root{3}{3}root{3}{2}+root{3}{2^2}})}={root{3}{3^2}+root{3}{3}root{3}{2}+root{3}{2^2}}/{3-2}={root{3}{3^2}+root{3}{3}root{3}{2}+root{3}{2^2}}

Рассмотрим пример упрощения выражения, содержащего иррациональность в знаменателе дроби.

Найти значение выражения:

({59/{2sqrt{17}-3}}*{26/{sqrt{17}-2}}+6sqrt{17})(sqrt{17}-4)

Внимание! Если нужно упростить выражение, содержащее иррациональность в знаменателе, то первым делом исключаем иррациональность из знаменателя, даже если кажется, что без этого можно обойтись.

Итак, исключим иррациональность из знаменателя первой и второй дроби:

({59/{2sqrt{17}-3}}*{26/{sqrt{17}-2}}+6sqrt{17})(sqrt{17}-4){59/{2sqrt{17}-3}}={59(2sqrt{17}+3)}/{(2sqrt{17}-3)(2sqrt{17}+3)}={59(2sqrt{17}+3)}/{(68-9)}={59(2sqrt{17}+3)}/{59}=2sqrt{17}+3

{26/{sqrt{17}-2}}={26*(sqrt{17}+2)}/(sqrt{17}-2)(sqrt{17}+2)={26*(sqrt{17}+2)}/(17-4)={26*(sqrt{17}+2)}/13=2(sqrt{17}+2)

Подставим полученные выражения в исходное:

((2sqrt{17}+3)(2(sqrt{17}+2))+6sqrt{17})(sqrt{17}-4)=((2sqrt{17}+3)(2sqrt{17}+4)+6sqrt{17})(sqrt{17}-4)=(4*17+6sqrt{17}+8sqrt{17}+12+6sqrt{17})(sqrt{17}-4)=(80+20sqrt{17})(sqrt{17}-4)=20(4+sqrt{17})(sqrt{17}-4)=20(17-16)=20

Итак,

({59/{2sqrt{17}-3}}*{26/{sqrt{17}-2}}+6sqrt{17})(sqrt{17}-4)=20

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

Для вас другие записи этой рубрики:

Иррациональность в знаменателе
| Отзывов (17)

Отзывов (17)

  1. гиззат
    в 08:09

    12/3+дробь2-дробь3
    Ответить
  2. Вадим
    в 20:35

    Прошу прощения, но у вас ошибка в 3-м пункте: неправильно указано сопряженное выражение (^3sqrt(3^2)+^3sqrt(3)*^3sqrt(3)+^3sqrt(2^2)), а должно быть ^3sqrt(3^2)+^3sqrt(3)*^3sqrt(2)+^3sqrt(2^2)
    Ответить
    • Инна
      в 07:06

      Да, опечатка. Спасибо большое!
      Ответить
  3. Сергей
    в 02:41

    Здравствуйте, пожалуйста, подскажите, а если в знаменателе по 3 и больше чисел, как от них избавляться? a+b+c, a-b-c, a-b-c+d, ? Пробовал множить их на те же числа с противоположными знаками, но только еще больше путаницы происходит. Есть ли какой-нибудь универсальный метод?
    Ответить
    • Инна
      в 07:34

      Это может быть часть формулы разности или суммы кубов, или нужно применить описанный прием дважды. Нужно знать конкретный пример.
      Ответить
  4. Павел
    в 09:46

    Уважаемые математики! Ответьте, пожалуйста на вопрос: зачем нужно исключать иррациональность из знаменателя. Дело в том, что в литературе обычно рассказывается, как это сделать, но вот зачем, как правило не говорится. Даже здесь написано: «часто бывает необходимо» — и всё.
    Ответить
    • Инна
      в 15:48

      Если нужно упростить выражение с иррациональностью в знаменателе, то если сначала ее исключить, то процесс идет гораздо легче. И считается, что при записи ответа иррациональность лучше исключить из знаменателя.
      Ответить
  5. Римма
    в 20:09

    Избавьтесь от иррациональности в знаменателе 15/2√5
    Ответить
    • Инна
      в 06:01

      Умножьте числитель и знаменатель на √5
      Ответить
  6. Андрей
    в 12:17

    3 + \sqrt{2} + \sqrt{3} / 3 — \sqrt{2} — \sqrt{3}
    Как в данном случае избавиться от знаменателя?
    Ответить
    • Инна
      в 12:39

      Посмотрите здесь: http://prntscr.com/u7harg
      Ответить
      • Андрей
        в 12:57

        Да, я так решал, но ответ в книге по которой я решаю, не сходится с тем, который получается у меня. Там ответ: -(4 + 3\sqrt{2})(5 + 3\sqrt{3}) / 2. То ли я где-то ошибку допускаю то ли опечатка в книге!
        Ответить
        • Андрей
          в 13:00

          А может преобразование более хитрое.
          Ответить
          • Андрей
            в 12:47

            Понял, не до конца прорешал задание, числитель не перемножил.
            Ответить
          • Инна
            в 13:25

            ура)
            Ответить
  7. Андрей
    в 21:52

    Тут у меня есть ещё одно сомнительное решение подобной задачи, я не уверен в правильности решения, но, пока что, всё равно других мыслей нет.

    http://radikal.ru/users/AnDrEY_K_

    Если есть время, посмотрите, пожалуйста!
    Ответить
    • Инна
      в 16:48

      Если еще актуально: первый пример имеет вид — я бы пошла таким путем.
      Во втором примере удобно ввести замену:

      Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *