Решение однородных тригонометрических неравенств

Решим систему тригонометрических неравенств:

Начнем со второго неравенства.

Это квадратное неравенство относительно .

Ветви параболы направлены вверх, следовательно, решением неравенства будет промежуток:

[]

Изобразим его на тригонометрическом круге:

Теперь решим второе неравенство:

Я приведу два решения: сначала распространенное решение, которое содержит ошибку, а потом правильное.

Итак, сначала решение с ошибкой.

Левая часть этого тригонометрического неравенства наводит на мысль решать его так же, как однородное тригонометрическое уравнение: разделить обе части на . При левая часть не равна нулю, к тому же - величина неотрицательная, поэтому, вроде как ничего страшного произойти не должно.

Делим:

Получаем:

Вводим замену и решаем квадратное неравенство относительно

Ветви параболы направлены вверх, следовательно неравенство верно при

Возвращаемся к исходной переменной, получаем

На тригонометрической окружности решение выглядит так (заметим, что  при не определен, поэтому эти точки мы выкалываем):

Мы видим, что что точки, соответствующие значениям выколоты, и решением неравенства будут промежутки:

[)(]

Совместим это решение с решением первого неравенства:

и получим ответ: (][)(]

Теперь найдем решение второго неравенства другим способом.

Будем искать решение неравенства с помощью метода интервалов. Сначала найдем при каких значениях неизвестного левая часть равна нулю, то есть решим уравнение  . Так же как в предыдущем решении разделим на и решим квадратное уравнение относительно .

Получим . То есть в точках и левая честь неравенства равна нулю.

Изобразим эти точки на тригонометрической окружности. Они разбивают ее на четыре промежутка. В этих точках происходит смена знака выражения, стоящего в левой части неравенства.

Выясним знаки этих выражений. Возьмем пробную точку . При , следовательно, знаки распределяются таким образом:

и решением неравенства

будут следующие промежутки:

[]

Мы видим, что в этом случае точки принадлежат множеству решений неравенства. И, совместив решение второго неравенства с решением первого,

получаем правильный ответ:

[][]

Что же произошло? При делении исходного неравенства на мы сузили ОДЗ. Мы исключили из решения те значения , при которых , при том, что исходное неравенство имеет смысл при этих значениях . То есть мы потеряли решения.

Какой же урок нам надо извлечь?

При решении однородных тригонометрических неравенств поступаем следующим образом:

1. Решаем соответствующее  однородное уравнение и находим точки, в которых левая часть неравенства меняет знак.

2. Исследуем знаки.

3. Записываем ответ.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.