Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
14 Апр 2015
14 Задание (2022) (C3)ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Логарифмическое неравенство. Задание 15(С3)

Решим логарифмическое неравенство:

{log_5(x^2-6x-6)^2-log_{11}(x^2-6x-6)^3}/{4+x-3x^2}>=0

Будем решать это неравенство с помощью обобщенного метода интервалов. Для этого:

1. Найдем ОДЗ

2. Найдем корни числителя и знаменателя.

3. Нанесем их на числовую ось и расставим знаки.

4. Учтем ОДЗ.

Итак, ОДЗ:

1. Выражение, стоящее под знаком логарифма строго больше нуля. Знаменатель дроби не равен нулю. Получаем систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2-6x-6>0} {4+x-3x^2<>0} }}{ }

x^2-6x-6>0

D/4=3^2+6=15

x_1=3~-~sqrt{15};~~x_2=3+sqrt{15}

Отсюда x<3~-~sqrt{15} или x>3~+~sqrt{15}

4+x-3x^2<>0

3x^2-x-4<>0

x<>-1;~~x<>4/3

Получили ОДЗ исходного неравенства:

x<3~-~sqrt{15} или x>3~+~sqrt{15}

x<>-1;~~x<>4/3

2. Корни знаменателя мы мы уже нашли:

x=-1;~~x=4/3

Найдем корни числителя, для этого решим уравнение:

log_5(x^2-6x-6)^2-log_{11}(x^2-6x-6)^3=0

Приведем логарифмы к основанию 5. Для этого воспользуемся формулой перехода к новому основанию:

log_{5}{(x^2-6x-6)}^2~-~{log_{5}{(x^2-6x-6)}^3}/{log_5{11}}=0

Так как ОДЗ мы уже нашли, можем вынести показатели степеней за знак логарифма, не ставя знак модуля.

(Напомню, что в общем случаем мы пользуемся формулами:

log_a{b^{2k+1}}=(2k+1)log_a{b}

log_a{b^{2k}}=(2k)log_a{delim{|}{b}{|}})

2log_5(x^2-6x-6)~-~{3log_{5}(x^2-6x-6)}/{log_5{11}}=0

Приведем к общему знаменателю:

{2{log_5{11}}*log_5(x^2-6x-6)~-~{3log_{5}(x^2-6x-6)}}/{log_5{11}}=0

Вынесем  log_5(x^2-6x-6) за скобку, получим:

{{2{log_5{11}}~-~3}/{log_5{11}}}*log_5(x^2-6x-6)=0

Заметим, что первый множитель в этом произведение - числовое выражение, не равное нулю. Произведение равно нулю, если второй множитель равен нулю: log_5(x^2-6x-6)=0

x^2-6x-6=1

x^2-6x-7=0

x_1=7;~~x_2=-1

Итак, мы нашли корни числителя (x_1=7;~~x_2=-1) и корни знаменателя (x=-1;~~x=4/3). Нанесем их на числовую ось. Заметим, что корень -1 присутствует и в числителе, и в знаменателе. Это корень четной кратности, в нем не происходит смены знака. Выделим его. В случае нестрого неравенства при нанесении на числовую ось  корни числителя закрашиваем, а корни знаменателя "выкалываем":

 

После преобразования числителя мы привели исходное неравенство к виду:

{{2{log_5{11}}~-~3}/{log_5{11}}}*{{log_5(x^2-6x-6)}/{4+x-3x^2}}>=0    (1)

Выясним знак выражения, стоящего в левой части неравенства  {{2{log_5{11}}~-~3}/{log_5{11}}}*{{log_5(x^2-6x-6)}/{4+x-3x^2}}>=0  на самом правом промежутке. Для этого определим его знак, например, при x=8
Заметим, что первый множитель {{2{log_5{11}}~-~3}/{log_5{11}}} - это числовое выражение.

Выясним его знак.

log_5{11}>0, так как 5>1 и 11>1

Найдем знак разности 2{log_5{11}}~-~3=log_5{121}-log_5{125}<0

Следовательно, дробь {{2{log_5{11}}~-~3}/{log_5{11}}}<0.

При x=8 второй множитель {{log_5(x^2-6x-6)}/{4+x-3x^2}}={{log_5(8^2-6*8-6)}/{4+8-3*8^2}}<0

Произведение двух отрицательных множителей больше нуля, следовательно, на промежутке  x>7 левая часть неравенства (1) больше нуля. Расставим знаки:

На интересуют промежутки, над которыми стоит знак "+"

Теперь учтем ОДЗ:

x<3~-~sqrt{15} или x>3~+~sqrt{15}

x<>-1;~~x<>4/3

Оценим значения выражений 3~-~sqrt{15} и 3~+~sqrt{15}

3<sqrt{15}<4

6<3+sqrt{15}<7

-4<-sqrt{15}<-3

-1<3-sqrt{15}<0

Получаем:

Получили решение неравенства:

Ответ: ({-{infty}};-1){union}(-1;~3-sqrt{15}){union}[7;{infty})

И.В. Фельдман, репетитор по математике.


 

Для вас другие записи этой рубрики:

Логарифмическое неравенство. Задание 15(С3)
| Отзывов (2)

Отзывов (2)

  1. Елена Старкова
    в 05:05

    Здравствуйте! Мне кажется небольшая опечатка в п.1 — неравенство для ОДЗ взято нестрогим.
    Ответить
    • Инна
      в 14:50

      Да, спасибо, исправила.
      Ответить

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *