Дао математики — изучение математики

Дао математики, "Дао" в китайской философии это - путь. Много лет я преподаю математику. Казалось бы - десятки лет одно и то же: одни и те же формулы, практически одни и те же задачи, одни и те же вопросы…Недалеко и до профессионального выгорания, когда появляются скука и раздражение, перестаешь получать удовольствие от работы, начинаешь воспринимать уроки как тяжелую повинность… Многим знакомы эти чувства. Не скрою, они и мне тоже знакомы. К счастью, они начинают появляться ровно перед летними каникулами, и не успевают сказаться на моих учениках.

Мой интерес к преподаванию математики не ослабевает с годами по той простой причине, что я рассматриваю изучение математики не только как единственную конечную цель своих уроков, но и как средство, как Путь…Средство саморазвития, Путь к себе.

Я уверена, что на уроках математики можно научиться многому.

1. Дао математики. Осознанность

«Секрет так называемых умных людей состоит в осознанности. Ясность ума определяется степенью осознанности. Одни люди ясно мыслят и ясно излагают, у других путаница в голове. Острый ум, с одной стороны, и тупость, с другой — это вовсе не степени развития интеллекта, а разные степени осознанности. Тупость — это скорее психологическая защита от нежеланной информации: «Ничего я не хочу знать, отстаньте вы от меня!». Острый ум — это, наоборот, открытость, любознательность, желание получать и обрабатывать информацию: «Хочу всё знать!». Страх и ярость — это крайние проявления неосознанности.» - Зеланд В.

«Никакое влияние на человека не может быть более навязчивым и предопределяющим, чем то, которое он не осознает.»  - Кернбер О.

«Будьте внимательны к своим мыслям, они — начало поступков.» - Лао-Цзы

Изучение математики в большей степени, чем любой другой дисциплины, способствует развитию осознанности. В это слово я вкладываю умение в каждый момент времени ответить на вопросы «что я сейчас делаю?» и «о чем я сейчас думаю?».

К сожалению, обучение в общеобразовательной школе, за редким исключением, основано на двух принципах: «делай как я» и «выучи формулу и подставь в задачу». Дети, которые задают много вопросов раздражают, так как отвлекают и мешают вести урок: нужно проходить программу, нет времени, чтобы остановиться и подумать, разобрать разные подходы, вернуться к пройденному. Решение большого числа однотипных задач дает хороший, но - увы - кратковременный результат на ближайшей контрольной работе. Такова обратная сторона обучения в общеобразовательной школе: развитие личности - это всегда штучный товар, а массовая школа, за редким, повторю, исключением, это огромный конвейер, образовательная машина, подгоняющая все живое под образовательный стандарт.

Недавно начала заниматься с новой ученицей. Старательная девочка, имеющая пятерку за итоговую контрольную в 10 классе, путает высоту треугольника с серединным перпендикуляром, уверена, что любые две хорды пересекаются в центре окружности, и даже когда правильно решает задачу не может объяснить, как она получила ответ. На просьбу обосновать свое решение, следует классический ответ: «вы так сказали». Конечно, я так сказала. Но перед этим я долго, разными способами это утверждение обосновывала.

Когда нет понимания, вся полученная информация представляется набором не связанных между собой фактов, и тогда решение задачи сводится мучительному вспоминанию аналогичной.

Если не закладывать, не удобрять и не поливать умение критически осмысливать информацию, на его месте прорастает навык послушно заглатывать то, что вкладывают в мозги родители, учителя и другие заинтересованные лица. И тогда даже не возникает желание задать себе, например, такие вопросы: «откуда взялось это правило?», «как оно связано с тем, что мне уже известно?»

В этом отношении особенно прекрасно решение задач по геометрии. Геометрия учит после любого утверждения ставить запятую и говорить «потому что, …». Никакое утверждение не принимается на веру, а должно быть обосновано с помощью неоспоримых фактов, которые вытекают из того, что дано в условии и что уже доказано. Отличный жизненный навык!

В последнее время моими любимыми вопросами на занятиях стали такие: «что ты сейчас делаешь?», «с какой целью ты это делаешь?», «откуда это следует?», «как ты можешь себя проверить?» И именно на них труднее всего получить вразумительный ответ.

Неумение описать свои действия словами (например, «сейчас я ищу дискриминант») говорит о «каше» в голове, нечеткости мышления - это то, над чем в первую очередь нужно работать.

Решая осознанно математическую задачу ребенок учится спрашивать себя:

• Что мне дано?;
• Что из этого следует?;
• Чем эта задача похожа на те, которые я уже решал?;
• Чем отличается?;
• Что я могу сделать в первую очередь?;
• К чему это приведет?;
• Какие теоремы я могу использовать?;

Не эти ли вопросы нужно задавать себе, решая задачи, которые ставит перед нами Жизнь.

2. Дао математики. Внутренняя честность

Внутренняя честность - это сестра - близнец осознанности. Это умение видеть ситуацию и себя в ней так, как есть. Довольно легко научить ребенка не обманывать других, но чрезвычайно трудно научиться не обманывать себя. Потому что ребенок всегда стремится соответствовать ожиданиям взрослых, и очень расстраивается, если это не удается сделать. И поэтому старается не замечать в себе то, что, по его мнению не соответствует ожиданиям близких.

К сожалению, большинство взрослых тоже не умеют относиться к себе честно: мы либо гнобим себя за малейший промах, либо игнорируем его. Внутренняя честность - это осознавание своих качеств: как тех, которые общество традиционно оценивает со знаком «+», так и «негативных», и принятие их. (Я специально взяла в кавычки, потому что любое качество всегда имеет обратную сторону.) Принятие вовсе не означает желание на все наплевать и оставить как есть - принятие означает признание, констатацию факта, за которыми следует решение, что с этим делать.

В математике классический пример игнорирования проблем - так называемые «ошибки по невнимательности», причинами которых при ближайшем рассмотрении оказываются незнание правил, неумение читать условие, незнание таблицы умножения, и многое другое. Но ребенку ведь гораздо приятнее считать, что это невнимательность. Типа умный, но невнимательный. И он с удовольствием воспринимает именно первую часть этой фразы, не предпринимая никаких усилий для улучшения ситуации.

Повторю: можно решить «проблему» только если признать ее наличие. Например, если я знаю про себя, что медленно соображаю, что мне нужно больше времени, чем другим, чтобы понять какую-то тему, то я просто дам себе больше времени. Если я знаю про себя, что страшно невнимательна, то десять раз прочитаю условие и десять раз проверю свое решение. Если я признаю, что я неорганизованный человек, то установлю на телефон напоминалку, составлю расписание и постараюсь ему следовать. Когда я признаю в себе какое-то качество, оно теряет силу и становится управляемым.

В этом деле самое главное, чему нужно научиться, и чему научиться чрезвычайно трудно - не сравнивать себя с другими. Недовольство собой - отличный стимул. Оно не позволяет расслабиться и остановиться на достигнутом, заставляет ставить новые цели и достигать новых вершин. Развиваться, расти, двигаться вперед, преодолевать - но точкой отсчета всегда должен быть сам человек. Поскольку сравнение себя с другими порождает либо манию величия, либо комплекс неполноценности. Уж это я знаю по себе!

Мы все уникальны. Сравнивая себя с другими, мы всегда вырываем из контекста, сравниваем несравнимое, типа «крокодил более длинный, чем зеленый»

«Путь мудреца — действовать, но не соревноваться». - Лао-цзы

Итак, уроки математики - отличный тренажер для развития внутренней честности: причины ошибок легко диагностируются, продвижение или, наоборот, буксование, легко фиксируются. Все достаточно объективно и прозрачно. И главное, ученик сам может отметить места, где были допущены ошибки и проговорить их причину. Он может оценить свои успехи и исследовать причины неудач.

3. Дао математики. Принятие своих особенностей

«Торопитесь медленно и прибудете скоро.» - Миларепа

Часто родители моих учеников жалуются, что ребенок неплохо работает на уроке, но как дело доходит до контрольной или самостоятельной - сплошные двойки. Не успевает…

Да, для многих детей самостоятельная или контрольная - это стресс. А если еще и ограничено время, то стресс вдвойне.

Дело в том, что на контрольной или самостоятельной не проверяется умение думать - только наработанные навыки. Однако разным людям требуется разное время для того, чтобы умение переросло в навык. Например, у меня очень плохая координация движений. Когда я училась водить машину, я очень долго училась переключать передачу: одновременно отжать сцепление и переключить передачу! - невозможное действие. Я тогда говорила себе: я буду долго учиться, но я научусь. Потом еще 10 лет я не могла слушать музыку в салоне - она меня отвлекала. Но вот прошло всего 15 лет, и я вожу машину «на автопилоте», совершенно не вникая в процесс.

Разумеется, у школьников нет пятнадцати лет на то, чтобы, например, научиться раскладывать многочлен на множители. Но если сразу не получается, нужно знать про себя, что этому процессу нужно уделить больше времени, чем другому ученику, чтобы получить хорошую оценку на проверочной работе.

А встречаются торопыги - решают так, как будто за ними кто-то гонится. И конечно, лепят по ходу кучу ошибок. Таким нужно притормаживать себя, учиться глубже дышать и расслабляться. А для этого сначала обращать внимание на свое состояние. Не корить себя за это, а просто знать про себя.

Этот принцип действует в отношении других качеств, которые «мешают» учиться - если посмотреть на них под другим углом зрения и приручить.

4. Дао математики. Учимся на ошибках

«Из исправления ошибок обязательно родится мудрость.» - Хуэйнэн

Что делают родители и учителя, когда ребенок ошибается? Правильно, ругают. Поэтому все, и взрослые, и дети, ужасно боятся ошибиться. Уже после того, как ошибка сделана, и отрицательный опыт получен, мы сожалеем о содеянном и говорим: «Эх, зря я тогда… надо было…» И всегда забываем о том, что тот, кто сделал ошибку, и тот, кто о ней сожалеет - два разных человека. Это «я» до получения опыта и «я» после его приобретения. Но чтобы приобрести опыт, надо было эту ошибку совершить.

На наших занятиях, если ученик примерно представляет как решать задачу, я редко вмешиваюсь в ход решения. И даже если вижу, что он ошибается, редко поправляю: ученик должен получить неправильный ответ, объяснить свои действия, постараться найти место, где ошибся, указать причину ошибки, и что намерен делать, чтобы больше такую ошибку не повторять.

Есть пословица: «мудрый человек учится на чужих ошибках, умный — на своих, дурак не учится вообще». Я бы перефразировала ее так: «мудрый человек не делает ошибок, умный учится на своих ошибках, дурак не учится вообще». Невозможно научиться на чужих ошибках, потому что обучение стимулирует развитие только в том случае, если представляет собой не просто «регистрацию внешней информации» (Ж. Пиаже), но «переваривание» и усвоение информации посредством собственного опыта. Обучение есть получение информации, использование ее в своих действиях с последующим их осознаванием.

Решение задач - отличный способ научиться действовать и не бояться ошибиться. Это абсолютно безопасная ситуация для формирования умения сконцентрироваться и сделать первый шаг в ситуации неопределенности. Я обычно говорю: «Сделай хоть что-нибудь, и посмотри, что получится. Следующий шаг станет виден после того, как сделаешь предыдущий».

«Сделайте первый шаг. Смелое преодоление одного маленького страха дает вам мужество, чтобы сделать второй.» - Дайсаку Икеда

Ведь поняв, что двигаешься в неверном направлении всегда можно вернуться на исходные позиции и начать все с начала. (И не только при решении задач по математике!)

5. Дао математики. Выбор и намерение

«Вы можете получить помощь от учителя, но вам придётся многому научиться самим, сидя в одиночестве в комнате.» - Доктор Сьюз

«Учителя только открывают двери, дальше вы идете сами.» - Китайская пословица

В основе всех наших действий лежит выбор. Если выбор не сделан, если цель не определена или если нет намерения ее достичь, то все усилия по достижению этой цели оказываются имитацией бурной деятельности и не дают желаемых результатов. Чтобы получить хороший результат, ученик должен сам четко представлять, зачем он ходит на занятия. Это может быть высокий балл на ЕГЭ или ГИА, хорошие оценки. (К сожалению, редко можно услышать такой ответ: "хочу лучше понимать математику и научиться решать задачи". Обычно к репетитору обращаются чтобы исправить ситуацию с оценками - именно они основной критерий истинного положения вещей. Однако, как я уже писала, весьма ненадежный). Если решение улучшить ситуацию по математике - это осознанное решение самого ребенка, а не родителей, то результат обязательно будет.

В ситуации выбора ученик оказывается всегда, например оставшись наедине с домашним заданием. Я обычно не проверяю напрямую его выполнение (хотя, по тому, как усвоен материал, я всегда вижу, было ли оно сделано.) Как правило, если цель домашнего задания - отработка пройденного материала, ученик всегда получает на дом задачи с ответами, он может проверить правильность ответа, а во многих случай и правильность решения, и ВСЕГДА может задать на следующем занятии вопрос, если что-то непонятно. Дома продолжается работа, начатая на занятии. Я знаю по себе, что самостоятельный разбор готового решения полезен не менее, чем самостоятельное решение задачи. Однако, если ребенку все равно, если он не настроен на результат, он будет по школьной привычке «откашивать» от домашней работы. Но это его выбор. И тогда, к сожалению, продвижение минимально.

Но если есть намерение и усердие, то результаты обычно не заставляют себя долго ждать. И не только с точки зрения прогресса в изучении математики:

И.В. Фельдман, репетитор по математике