Решение системы уравнений с параметром. Задание 18 (Из тренировочной работы СтатГрад 24 сентября 2015 года)

Найдите все целочисленные значения параметра , при каждом из которых система

имеет единственное решение.

Посмотрим внимательно на структуру первого уравнения. Если мы рассмотрим две точки   и , то выражение - это расстояние между точками A и B. Аналогично расстояние между точками  и равно

Точки  и  имеют разные абсциссы, но одинаковые ординаты. Следовательно, они лежат на прямой .

Равенство показывает,  что сумма расстояний от точки   до точек  и  равно 4. При этом расстояние между точками  и  также равно 4. Следовательно, точка  принадлежит отрезку ,  лежащему на прямой .

Таким образом, решением первого уравнения являются все значения    из отрезка  при любом действительном значении .

Исходная система имеет единственное решение, если второе уравнение системы имеет единственное решение на отрезке [1;5].

Теперь мы имеем дело с задачей на расположение корней квадратного трехчлена: "при каком значении параметра  уравнение  имеет единственный корень на отрезке [1;5]?".

Заметим, что по теореме Виета для квадратного трехчлена, стоящего в левой части уравнения справедливо:

Мы видим, что произведение корней отрицательно (), следовательно, корни квадратного трехчлена имеют разные знаки.

Рассмотрим функцию

При условии, что квадратный трехчлен имеет единственный корень на отрезке [1;5], мы получаем такую  картинку:

Данный квадратный трехчлен имеет единственный корень на отрезке [1;5], если

Получаем систему неравенств:

Решим каждое неравенство:

 (1)

Так как , а , неравенство (1) выполняется при любом значении  х.

(2)

Это неравенство с модулем равносильно системе:

Решим каждое неравенство.

(1)

(2)

(3)

Чтобы решить систему, мы должны все точки расположить на одной координатной прямой, а для этого оценить значения всех полученных выражений.

Оценим, в каких пределах лежит значение выражения :

Оценим, в каких пределах лежит значение выражения :

Аналогично получим:

Получаем такую картинку:

Теперь легко видеть, что целые значения , удовлетворяющие данной системе неравенств (лежащие на голубом промежутке)  - это числа -2, -1, 0, 1.

Ответ: -2, -1, 0, 1.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.