№ 324616
Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 3 и 4, а средняя линия равна 2,5.
Решение.
показать
Сделаем дополнительное построение: на прямой 
отложим отрезок 
и рассмотрим треугольник 
:
и 
- по построению. Следовательно, четырехугольник 
- параллелограмм, и отсюда 
Докажем, что площадь треугольника 
равна площади исходной трапеции.
Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть 
Отсюда 
. Следовательно, сторона 
треугольника равна 5 и треугольник - прямоугольный.
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, следовательно, 
Ответ: 6
Замечание:
Если бы треугольник не оказался бы прямоугольным, то его площадь можно было бы найти по формуле Герона: 
, где 
- длины сторон треугольника, 
- полупериметр.
№ 324617
Середина 
стороны 
выпуклого четырехугольника 
равноудалена от всех его вершин. Найдите , если 
, а углы 
и 
четырёхугольника равны соответственно 
и
.
Решение.
показать
№ 324618
В треугольнике 
биссектриса угла 
делит высоту, проведённую из вершины , в отношении 5:4, считая от точки . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника , если 
.
Решение.
показать
Рассмотрим прямоугольный треугольник 
. 
- биссектриса, следовательно, по свойству биссектрисы, 
Пусть 
, тогда по теореме Пифагора 
.
По теореме синусов 
Ответ: 10
И. В. Фельдман, репетитор по математике.
стороны 
выпуклого четырехугольника 
равноудалена от всех его вершин. Найдите 
, а углы 
и 
четырёхугольника равны соответственно 
и
.
биссектриса угла 
делит высоту, проведённую из вершины 
.
№ 324617.
Теорема синусов ВС/sinA.
Это не сама теорема синусов в чистом виде, а всего лишь следствие из неё. Т.е. R=a/2sinA