Решение.
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Получим систему:
первое уравнение:
:
Второе условие:
Заметим, что 
, поэтому 
:
Остался единственный корень: 
б) Отберем корни, принадлежащие отрезку [
]:
Мы видим, что отрезку [] принадлежит корень 
:
Ответ: а) 
б)
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Решение.
Построим сечение.
- Проведем прямую №1 (
) параллельно 
.
Через точку 
проведем прямую №2 (
) параллельно 
.
Через точку 
проведем прямую №3 (
) параллельно .
Получили сечение - четырехугольник 
:
Данное сечение удовлетворяет всем условиям задачи:
-
- по построению, следовательно 
(по теореме о параллельности прямой и плоскости).
-
- по построению, следовательно 
(по теореме о параллельности прямой и плоскости).
Докажем, что четырехугольник - прямоугольник.
, так как - линия пересечения плоскости 
и плоскости 
, , следовательно линии пересечения плоскости сечения с плоскостями и (соответственно 
и ) параллельны.
, так как и параллельны . Следовательно, противоположные стороны четырехугольника попарно параллельны и он является параллелограммом.
Докажем, что 
. Проведем высоту 
пирамиды:
Вершина правильной пирамиды проецируется в точку 
, ортоцентр основания, то есть в точку пересечения медиан, высот и биссектрис треугольника .
, следовательно, по теореме о трех перпендикулярах 
. 
, 
, следовательно .
Найдем длины сторон прямоугольника .
(из подобия треугольников 
и 
)
; 
(из подобия треугольников 
и )
; 
Ответ: 4,5.
].
лежит треугольник 
со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 4. Через такую точку ребра 
, что 
, параллельно прямым 
и 
проведена плоскость.
Я думаю, что в задании прототипа 13 при отборе корней, принадлежащих заданному отрезку, будет корень х= -7п + arcsin 3/5
-7п + arcsin 3/5 лежит в 3 четверти
Пардон, но тогда х= -6п-arcsin3/5, иначе Ваш корень вообще выходит за пределы отрезка.
-6п-arcsin3/5 — запрещенная точка
Да, Ваш ответ верный, я ошиблась на окружности при расстановке значений.
ВСЕ замечательно . Только осталось соединить точки М и Л.
Хорошие тренировочные задачи. Оформление замечательное. В.М.
А разве не соединены?
Спасибо,очень кстати.
Красивое решение, спасибо. Для меня проще доказать, что ТК перпендикулярно ТМ, координатным методом. Не нужны дополнительные построения.
Я не люблю метод координат в случае пирамиды — дурацкие координаты получаются, легко ошибиться)
Разве в тригонометрическом уравнении б)не минус 6п — arcsin 3/5
-6п-arcsin3/5 — запрещенная точка
Мне понравились решения. Только я предпочитаю (применительно к задаче 14) при изложении сначала доказать, что стороны искомого сечения параллельны ребрам пирамиды, а потом строить эти стороны. В Вашем изложении (если его показать ученикам) им может быть сначала непонятно, почему нужно проводить прямые так, как описано. Или вообще после этого не посчитают нужным обосновывать, что что полученное сечение удовлетворяет требованиям задачи, скажут:»И так понятно».
к заданию №13 у меня такое же решение а когда посмотрела критерии по этому заданию там ответы даны через arccosin(-4/5). Вот я не могу понять зачем и как это объяснить детям? Ведь ответ совсем «не сходится» с критериями, а это значит 0 баллов? (я учитель)
arccos(-4/5)=π-arcsin(3/5) Проблем быть не должно.