Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители

В этой статье я расскажу, как решать тригонометрические уравнения с помощью разложения на множители. Чаще всего разложение на множители применяется в уравнениях, которые содержат тригонометрические функции с  углами, кратность которых больше трех.

При решении тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители мы преобразуем сумму или разность тригонометрических функций в произведение с помощью тригонометрических формул:

Заметим, что во всех этих формулах присутствует полусумма и полуразность аргументов синуса и косинуса.

Алгоритм применения метода разложения на множители я покажу на таком классическом уравнении:

1. Наша задача сгруппировать синусы по два так, чтобы при разложении на множители в каждой группе появились одинаковые множители.

Попробуем сгруппировать так:

2. Сумму синусов в каждой скобке разложим на множители:

Упростим, и учтем четность косинуса:

Удалось! В каждом произведении у нас есть одинаковый множитель 

(Если общий множитель не появился, нужно попробовать сгруппировать по-другому. )

3. Вынесем общий множитель  за скобку:

4. Ещё раз преобразуем в произведение сумму синусов в скобках:

5. Так как каждый множитель произведения не имеет ограничений на ОДЗ, просто приравняем каждый множитель к нулю:

a) ,

,  

,  

б) 

,  

,  

в)  

,  

Ответ: ,  ,

,  

,  

Иногда, прежде чем преобразовывать сумму тригонометрических функций в произведение, нужно сначала преобразовать произведение в сумму.

Для этого мы используем вот эти тригонометрические формулы:

Решим уравнение:

Уравнение в таком виде нам не удается разложить на множители. Преобразуем сначала  произведения в правой и левой части уравнения в сумму:

Получим:

Преобразуем разность синусов в произведение:

Приравняем каждый множитель к нулю:

, 

, 

Ответ: , 

И, наконец, предлагаю вам посмотреть ВИДЕОУРОК с подробным решением тригонометрического уравнения из Задания С1:

Решить уравнение , в ответе записать решения уравнения, принадлежащие промежутку 

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Купить видеокурс "ВСЯ ТРИГОНОМЕТРИЯ. Часть В и С1"