Разложение многочлена на множители. Часть 2
В этой статье мы продолжим разговор о том, как раскладывать многочлен на множители. Мы уже говорили о том, что разложение на множители - это универсальный прием, помогающий решить сложные уравнения и неравенства. Первая мысль, которая должна прийти в голову при решении уравнений и неравенств, в которых в правой части стоит ноль - попробовать разложить левую часть на множители.
Перечислим основные способы разложения многочлена на множители:
- вынесение общего множителя за скобку
- использование формул сокращенного умножения
- по формуле разложения на множители квадратного трехчлена
- способ группировки
- деление многочлена на двучлен
- метод неопределенных коэффициентов.
Мы уже подробно рассмотрели первые три способа разложения на множители. В этой статье мы остановимся на четвертом способе, способе группировки.
Если количество слагаемых в многочлене превышает три, то мы пытаемся применить способ группировки. Он заключается в следующем:
1.Группируем слагаемые определенным образом так, чтобы потом каждую группу можно было разложить на множители каким-то способом. Критерий того, что слагаемые сгруппированы верно - наличие одинаковых множителей в каждой группе.
2. Выносим за скобку одинаковые множители.
Поскольку этот способ применяется наиболее часто, разберем его на примерах.
Пример 1. Разложить на множители выражение: 
Решение. 1. Объединим слагаемые в группы:
2. Вынесем из каждой группы общий множитель:
3. Вынесем множитель, общий для обеих групп:
Итак, 
Пример 2. Разложить на множители выражение: 
1. Сгруппируем последние три слагаемых и разложим на множители по формуле квадрата разности:
2. Разложим получившееся выражение на множители по формуле разности квадратов:
Итак, 
Пример 3. Решить уравнение: 
В левой части уравнения четыре слагаемых. Попробуем разложить левую часть на множители с помощью группировки.
1. Чтобы структура левой части уравнения была яснее, введем замену переменной: 
, 
Получим уравнение такого вида:
2. Разложим левую часть на множители с помощью группировки:
Внимание! Чтобы не ошибиться со знаками, я рекомендую объединять слагаемые в группы "как есть", то есть не меняя знаки коэффициентов, и следующим действием, если необходимо, выносить за скобку "минус".
3. Итак, мы получили уравнение:
Отсюда 
.
То есть 
4. Вернемся к исходной переменной:
Разделим обе части на 
. Получим: 
. Отсюда 
Ответ: 0
Пример 4. Решить уравнение: 
Чтобы структура уравнения стала более "прозрачной", введем замену переменной:
, 
Получим уравнение: 
Разложим левую часть уравнения на множители. Для этого сгруппируем первое и второе слагаемые и вынесем за скобку 
:
,
вынесем за скобку 
:
.
Вернемся к уравнению:
Отсюда 
или 
,
или 
Вернемся к исходной переменной:
или 
Чтобы решить эти уравнения, нужно вспомнить, как решаются простейшие тригонометрические уравнения.
Получаем:
, 
;
,
или
, 
;
, ;
Ответ: , , ,
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Здравствуйте, помогите пожалуйста решить трудный пример. Я умею раскладывать на множители любым из трёх способов, но этот пример у меня вызывает затруднения, помогите, если не трудно, очень выручите, заранее СПАСИБО!
(цифры после у-это степени)
у4+4у3+6у2+4у-8
Попробуйте с помощью метода неопределенных коэффициентов:
Нужно перемножить скобки слева и приравнять коэффициенты при одинаковых степенях. Получится система уравнений относительно
Спасибо огромное, я всё поняла!)))
Добрый день,
Как разложить на множители a^2(b-c)+b^2(c-a)+c^2(a-b)?
Спасибо!