Сайт репетитора по математике Фельдман Инны Владимировны. Профессиональные услуги репетитора по математике в Москве. Подготовка к ГИА и ЕГЭ, помощь отстающим.
31 Май 2013
14 Задание (2022) (C3)ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВАРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, НЕРАВЕНСТВА И СИСТЕМЫ

Система неравенств с модулем. Задание С3

Решим задачу из Задания С3 для  подготовки к ЕГЭ  по математике:

Решите систему неравенств:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2^{x^2+{delim{|}{x}{|}}}*3^{-{delim{|}{x}{|}}}<=1} {{delim{|}{x-1}{|}}<={9x^2}/2+2,5x} }}{ }

Как обычно, решим каждое неравенство системы по отдельности.

Начнем с первого неравенства исходной системы:

2^{x^2+{delim{|}{x}{|}}}*3^{-{delim{|}{x}{|}}}<=1

1. Умножим обе части неравенства на 3^{{delim{|}{x}{|}}} - это выражение  всегда больше нуля, поэтому знак неравенства не меняется:

{{2^{x^2+{delim{|}{x}{|}}}<=3^{{delim{|}{x}{|}}}}}

2. Возьмем от обеих частей неравенства логарифм по основанию 2 (основание больше 1, поэтому знак неравенства не меняется):

log_2{{2^{x^2+{delim{|}{x}{|}}}<=log_2{3^{{delim{|}{x}{|}}}}}}

x^2+{delim{|}{x}{|}}<={delim{|}{x}{|}}*log_2{3}

Так как x^2=({delim{|}{x}{|}})^2, перепишем неравенствов таком виде:

({delim{|}{x}{|}})^2+{delim{|}{x}{|}}-{delim{|}{x}{|}}*log_2{3}<=0

({delim{|}{x}{|}})^2+{delim{|}{x}{|}}*(1-log_2{3})<=0

({delim{|}{x}{|}})^2+{delim{|}{x}{|}}*(log_2{(2/3)})<=0

({delim{|}{x}{|}})^2-{delim{|}{x}{|}}*(log_2{(3/2)})<=0

{delim{|}{x}{|}}*(delim{|}{x}{|}-log_2{(3/2)})<=0

Первый множитель delim{|}{x}{|}>=0,  следовательно, delim{|}{x}{|}-log_2{(3/2)}<=0

delim{|}{x}{|}<=log_2{(3/2)}

Отсюда: -log_2{(3/2)}<=x<=log_2{(3/2)}

Итак, решение первого неравенства -log_2{(3/2)}<=x<=log_2{(3/2)}.

Решим второе неравенство исходной системы:

{delim{|}{x-1}{|}}<={9x^2}/2+2,5x

Неравенство вида delim{|}{x}{|}<=a равносильно системе:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<=a} {x>=-a} }}{ }

Запишем систему, равносильную нашем неравенству:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{ {x-1<={9x^2}/2+2,5x}{x-1>=-{9x^2}/2-2,5x} }}{ }

Решим каждое неравенство системы:

x-1<={9x^2}/2+2,5x

Перенесем все влево:

{9x^2}/2+2,5x-x+1>=0

Умножим обе части на 2:

9x^2+3x+2>=0

Дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства меньше нуля, следовательно неравенство верно при любом x

Рассмотрим второе неравенство:

x-1>=-{9x^2}/2-2,5x

{9x^2}/2+2,5x+x-1>=0

9x^2+7x-2>=0

Корни квадратного трехчлена

x=-1; x=2/9:

Итак, решение второго неравенства исходной системы:x<=-1; x>=2/9

Совместим решения первого и второго неравенства на одной координатной прямой. Для этого нам надо выяснить расположение точек.

Очевидно, что -log_2{(3/2)}>-1

Сравним числа 2/9 и log_2{(3/2)}:

3/2>sqrt{2}

log_2{(3/2)}>log_2{sqrt{2}}=1/2>2/9

Итак, совмещаем решения обоих неравенств системы на одной координатной прямой:

Ответ: [ 2/9;log_2{(3/2)} ]

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

Для вас другие записи этой рубрики:

Система неравенств с модулем. Задание С3
| Отзывов (17)

Отзывов (17)

← Предыдущие комментарии
  1. Мария
    в 16:58

    Почему,решая первое неравенство в системе,где модуль х больше или равен нулю и модуль х с логарифмом меньше или равен нулю не учитывается на координатной прямой первое неравенство?
    Ответить
  2. Виктория
    в 10:57

    Как вы получили ответ в решении первого неравенства системы?почему не учитывался |x| 》0?и как вообще отобрали?Там метод интервалов или что?
    Ответить
  3. Далер
    в 14:44

    Спасибо за решение
    Ответить
← Предыдущие комментарии

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *