Среди нелинейных систем уравнений встречаются довольно сложные, для решения которых нужно найти какой-то нестандартный ход, или скомбинировать известные приемы решения. В том и другом случае нужно хорошо ориентироваться в типах нелинейных систем уравнений и стандартных подходах к их решению.
В этой статье я расскажу о способах решения различных типов нелинейных систем уравнений. Продолжение статьи здесь.
1. Распадающиеся системы.
В системах этого типа левую часть одного из уравнений системы (при условии, что в правой части стоит ноль) можно разложить на множители. И тогда это уравнение распадается на более простые, и, соответственно, вся система поступает так же.
Решим систему уравнений:
Заметим, что в первом уравнении системы мы можем перенести все влево и разложить левую часть на множители:
; 
; 
; 
Чтобы найти, при каком значении неизвестного произведение двух множителей равно нулю, нужно каждый множитель приравнять к нулю:
, если 
или 
.
То есть наша система распадается на две более простые:
(1) или 
(2)
Решим первую систему:
В первом уравнении выразим 
через 
и подставим во второе уравнение:
Решим второе уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим уравнение:
Отсюда 
; 
;
так как , найдем соответствующие значения :
; 
Решим вторую систему:
(2)
В первом уравнении выразим через и подставим во второе уравнение:
Решим второе уравнение. Раскроем скобки и приведем подобные члены. Получим уравнение:
Отсюда ; ;
так как , найдем соответствующие значения :
;
Ответ: (0;-2); (2;0); (0;2)
2. Симметрические системы.
Симметрическая система замечательна тем, что если мы в ней поменяем местами и , то система не изменится.
Причем, если пара (х;у) является решением симметрической системы уравнений, то пара (у;х) также будет решением этой системы.
Симметрические системы решаются с помощью следующей замены:
Есть некоторые стандартные преобразования, помогающие ввести подобную замену, которые нужно знать:
Решим систему уравнений:
Подготовим систему к замене :
Введем замену:
(1)
Сложим уравнения системы. Получим:
. Решим это уравнение:
; 
Подставим эти значения 
во второе уравнение системы (1) и найдем 
1.
2.
Вернемся к исходной переменной. Получим две системы:
и 
Первая система решений не имеет, решение второй системы (1;1)
Ответ: (1;1)
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Пока все ясно и понятно,прозрачно ,как в стекле.Большое спасибо .Алексей.
Инна Владимировна, помогите решить симметрическую систему уравнений
1 (х+2у)(х+3у)-2х-5у=1
2 (х+2у)^2+(x+3y)^2=13
Умножить первое уравнение на 2 и сложить со вторым,выделить полный квадрат, затем ввести замену t=2x+5y.