Решение системы неравенств с модулем

Решим систему неравенств с модулем из варианта №50 А. Ларина.

Решим каждое неравенство системы по отдельности, а потом совместим решения обоих неравенств на одной координатной прямой.

1. Решим первое неравенство системы.

Чтобы решить неравенство, содержащее модули, нужно раскрыть модули.

Приравняем каждое подмодульное выражение к нулю и найдем точки, в которых подмодульные выражения меняют знак.

Нанесем эти значения на числовую прямую:

Мы получили три промежутка. Найдем знаки каждого подмодульного выражения на каждом промежутке:

Раскроем модули на каждом промежутке (мы можем граничные точки  и  включать в оба промежутка):

а)

На этом промежутке оба подмодульных выражения отрицательны, поэтому мы раскрываем модули с противоположным знаком:

(1)

Так как исходное неравенство "превращается" в неравенство (1) только при , получим систему неравенств:

.

Решим первое неравенство, и получим систему:

.

Решением системы неравенств является промежуток:

б)

На этом промежутке первое подмодульное выражение положительно, а второе отрицательно, поэтому первый модуль мы раскрываем с тем же знаком, а второй с противоположным.

Получаем неравенство:

(2)

Так как исходное неравенство "превращается" в неравенство (2) только при , получим систему неравенств:

или

Решением системы неравенств является промежуток:

в)

На этом промежутке оба подмодульных выражения положительны, поэтому оба модуля мы раскрываем с тем же знаком.

Получаем неравенство:

(3)

Так как исходное неравенство "превращается" в неравенство (3) только при , получим систему неравенств:

или

Решением системы является промежуток:

Объединим три промежутка и получим решение первого неравенства исходной системы:

2. Решим второе неравенство системы.

Приведем левую часть неравенства к общему основанию. Сначала разложим на множители знаменатель первой дроби:

Решим это неравенство методом интервалов.

Найдем корни числителя и знаменателя и нанесем их на числовую ось.

На самом правом промежутке , поэтому знаки расставим так:

Нас интересуют промежутки со знаком "-":

следовательно, решение этого неравенства:

Совместим решения первого и второго неравенств исходной системы на одной координатной прямой и найдем их пересечение:

Ответ: [-2;1)(2;2,4]

И.В. Фельдман, репетитор по математике.