В основании прямой призмы 
лежит квадрат 
со стороной 2, а высота призмы равна 
. Точка 
лежит на диагонали 
, причем 
.
а) Постройте сечение призмы плоскостью 
.
б) Найдите угол наклона этой плоскости к плоскости 
.
Решение.
Сначала определим где примерно расположена точка на диагонали .
Для этого найдем длину диагонали .
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений:
отсюда 
Так как по условию , точка лежит чуть ниже середины диагонали . (Точка пересечения диагоналей параллелепипеда делит их пополам.)
Нам нужно построить сечение призмы плоскостью . Обозначим плоскость сечения 
.
Сечение призмы плоскостью - это многоугольник, стороны которого представляют из себя линии пересечения граней призмы с секущей плоскостью.
Если две вершины многогранника, через которое нужно провести плоскость лежат в одной грани, то отрезок, соединяющий эти точки является стороной сечения. Точки 
и 
, через которые мы проводим сечение, лежат в одной грани, соединим их.
Дальше для построения сечения воспользуемся вспомогательной плоскостью. Найдем проекции точек и на плоскость . Для этого опустим перпендикуляры из точек и на плоскость .
Прямые 
и 
перпендикулярны плоскости , следовательно, они параллельны:
Через две параллельные прямые можно провести плоскость. Проведем плоскость 
. Пересекающиеся прямые 
и 
лежат в этой плоскости.
Плоскость искомого сечения и плоскость пересекаются по прямой :
Плоскость и плоскость основания 
пересекаются по прямой :
Пусть точка 
- точка пересечения прямых и :
Точка лежит и в плоскости основания, и в плоскости .
;
.
У нас случайно получилось, что точка визуально лежит на ребре 
. Но, строго говоря, это не факт.
Аналогично проведем плоскость 
через параллельные прямые и 
. Пересекающиеся прямые 
и 
лежат в этой плоскости.
Пусть точка 
- точка пересечения прямых и :
Точка лежит и в плоскости основания, и в плоскости .
;
.
Таким образом, точки и лежат и в плоскости основания, и в плоскости . Проведем через эти точки прямую 
.
Найдем точки пересечения прямой с ребрами и 
Теперь мы можем соединить отрезками точки 
.
Итак, мы получили сечение призмы плоскостью, проходящей через точки 
:
б) Теперь найдем угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.
Чтобы найти угол между плоскостями, нужно к линии пересечения плоскостей провести перпендикуляры, лежащие в этих плоскостях. Меньший из двух углов, образованных этими перпендикулярами, и есть угол между плоскостями.
, так диагонали квадрата взаимно перпендикулярны.
, так как боковые ребра прямой призмы перпендикулярны плоскости основания, и, следовательно, перпендикулярны любой прямой, лежащей в плоскости основания.
То есть прямая 
перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости 
, и, следовательно, 
, следовательно, прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости , в частности, прямой 
- так как если две параллельных плоскости пересечены третьей плоскостью, то линии пересечения этих плоскостей параллельны.
Поэтому 
Следовательно, угол 
- угол между плоскостью и плоскостью
Сделаем выносной чертеж:
Cделаем дополнительные построения. Проведем через точки и 
прямые 
и 
и через точку прямую 
, 
Рассмотрим подобные треугольники 
и 
∠
∠
Будем искать 
1. Рассмотрим подобные треугольники 
и 
Отсюда 
- диагональ квадрата со стороной 2.
Отсюда 
Тогда 
И отсюда 
Ответ: 
При построении сечения: нельзя ли было избежать построения дополнительных плоскостей? Если провести прямую, соединяющую точку Е и середину А1С1, то эта прямая должна пересечь BD как раз в точке P. А потом проводим через P прямую, параллельную А1С1 и получаем точки M, N. И как раз получается выносной чертеж.
Можно. Но мне хотелось еще раз напомнить метод построения сечения с помощью вспомогательной плоскости — это универсальный прием.
спасибо большое!!!
Да,меня тоже поразила сложность построения сечения.16 вспомогательных чертежей к такому простому сечению.Средний ученик потеряет нить рассуждений.Но работу Вы,конечно,ведете колоссальную.
А в овете не надо ли перейти к арктангенсу? Т.е. найти именно угол?
Надо, спасибо, все время забываю)