Репетитор по математике

а) Пусть - точка пересечения медианы с высотой конуса. Точка  принадлежит плоскости треугольника , следовательно, высота конуса также принадлежит плоскости треугольника .

Высота конуса является высотой треугольника . Треугольник  равнобедренный, следовательно, высота является медианой, и основание высоты, точка , является серединой отрезка . Следовательно, точка - центр окружности основания конуса и - диаметр основания конуса.

Далее. По условию , следовательно, треугольник - равнобедренный, медиана является высотой, и отсюда :

Кроме того, , следовательно, прямая перпендикулярна плоскости  и отсюда перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, и, в частности, прямой . Следовательно, угол  - прямой.

б) Найдем угол между прямыми  и , при условии, что .

Чтобы найти угол между прямыми, нужно через точку, лежащую на одной из прямых, провести прямую, параллельную второй прямой.

Проведем через точку   прямую :

Угол равен углу между прямыми  и . Рассмотрим треугольник .

- средняя линия треугольника ; .

- медиана равнобедренного прямоугольного треугольника  (угол опирается на диаметр, поэтому он равен ).

- медиана равнобедренного треугольника   .

(из прямоугольного треугольника )

найдем по теореме косинусов из треугольника :

;

найдем по теореме косинусов из треугольника .

Следовательно, 

Ответ:

а) Вершина пирамиды проецируется в центр основания, отсюда, поскольку в прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, треугольники равны по двум катетам,  боковые ребра пирамиды равны.

Сделаем выносные чертежи для граней и . Проведем в них высоты.

Из подобия треугольников и получим: ;

Отсюда .

Из подобия треугольников и получим: ;

Отсюда .

Тогда 

Следовательно,   - середина отрезка .

б) Чтобы найти угол между гранями , нужно провести два перпендикуляра к ребру :

- высота и медиана грани . Тогда   - средняя линия треугольника , ,  следовательно, .

Угол - линейный угол двугранного угла между гранями .

Нам нужно найти угол .

Рассмотрим треугольник . Найдем его стороны.

.

Вернемся к треугольникам и :

Выразим дважды площадь каждого треугольника и найдем длины  и .

Отсюда ;

Отсюда ;

Рассмотрим треугольник :

Найдем по теорме косинусов:

Ответ:

а) Так как по условию - высота пирамиды, отрезок  перпендикулярен плоскости основания. Тогда   - наклонная, - проекция наклонной. По условию прямая перпендикулярна прямой , отсюда  по теореме о трех перпендикулярах , и треугольник  - прямоугольный.

б)  Найдем по теореме косинусов длину отрезка :

Введем обозначения как на рисунке и запишем теорему Пифагора для прямоугольных треугольников .

Получим систему уравнений:

Вычтем из второго уравнения первое, получим

Отсюда , ,

Подставим значение во второе уравнение первой системы, получим .

Подставим значение в третье уравнение первой системы, получим .

Объем пирамиды  

Ответ:

а) (так как  по условию), , так как призма прямая, и боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Отсюда ребро  перпендикулярно плоскости . Тогда - проекция наклонной  на плоскость .

Так как по условию , по теореме о трех перпендикулярах .

Боковые грани прямой призмы- прямоугольники, следовательно, четырехугольник - прямоугольник с перпендикулярными диагоналями. Следовательно  четырехугольник - квадрат. Отсюда .

б) Найдем расстояние между прямыми и , если .

, следовательно, прямая параллельна плоскости . Отсюда расстояние между прямыми и равно расстоянию от любой точки прямой , например, от точки  до плоскости :

Расстояние от точки  до плоскости  равно высоте пирамиды , опущенной из вершины  на основание .

- высота пирамиды, следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка .

Найдем объем пирамиды .

Найдем площадь треугольника .

- из треугольника .

- из треугольника .

- из треугольника .

Ответ:

б') Найдите расстояние между прямыми и , если .

Проведем прямую , параллельную . Для этого достроим призму следующим образом:

Прямая  параллельна плоскости , поэтому расстояние от точки  до плоскости  равно расстоянию между прямыми и .

Введем систему координат,  найдем уравнение плоскости  и координаты точки .

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле

Выпишем координаты точек, которые задают плоскость :

; ; .

Так как плоскость проходит через начало координат, .Подставим координаты точек и в уравнение плоскости .

Получим:

Отсюда получаем: .

Подставляем в уравнение плоскости :

Умножим обе части на и разделим на . Получим уравнение плоскости :

.

Координаты точки .

Ответ:  .

а) Соединим точки и .Так как (по условию), следовательно, (1), следовательно, треугольник подобен треугольнику по двум сторонам и углу между ними. Отсюда .

Точки   и - середины ребер и   соответственно, следовательно, отрезок  - средняя линия треугольника , отсюда .

Следовательно, . Две параллельные прямые лежат в одной плоскости, следовательно, точки и лежат в одной плоскости.

б) Объем произвольной пирамиды находится по формуле:

, где - площадь произвольной грани, и - высота, проведенная к этой грани.

Рассмотрим многогранник  и выразим его объем через объем пирамиды . Для этого разобьем этот многогранник на две пирамиды:

рис.1

и :

рис.2

Выразим объем пирамиды  через объем пирамиды . (рис.1)

Площадь основания этой пирамиды - это площадь четырехугольника . Так как , . Следовательно, площадь четырехугольника составляет от площади треугольника . Высота пирамиды , проведенная из вершины равна половине высоты пирамиды , проведенной из вершины . Следовательно, объем пирамиды  составляет  объема пирамиды .

Рассмотрим пирамиду  (рис.2)

Пусть основание этой пирамиды - треугольник  , а высота проведена из вершины . Найдем, какую часть от площади треугольника составляет площадь треугольника :

Следовательно, 

Высота пирамиды , проведенная из вершины равна половине высоты пирамиды , проведенной из вершины , следовательно, объем пирамиды  составляет объема пирамиды .

Отсюда объем многогранника , равный сумме объемов пирамиды  и  составляет  объема пирамиды .

Следовательно,  отношение объемов многогранников, на которые плоскость разбивает пирамиду равно .

Ответ: .

Докажем перпендикулярность прямых   и с помощью метода координат. Введем систему координат и докажем перпендикулярность векторов   и .

Вектора   и - направляющие вектора прямых   и . Если направляющие вектора прямых перпендикулярны, то перпендикулярны и сами прямые.

Пусть сторона куба равна . Запишем координаты точек:

Теперь найдем координаты векторов  и (чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора вычитаем координаты начала):

Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Найдем скалярное произведение векторов   и . Скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.

Итак, , следовательно, , отсюда

б) Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точку и перпендикулярной прямой .

Прямая перпендикулярна плоскости, если он перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости.

Проведем в грани прямую , перпендикулярную . Поскольку (из доказанного) и  (по построению),  перпендикулярна плоскости, содержащей прямые   и .

Проведем эту плоскость:

Если плоскость пересекает две параллельные плоскости, то линии пересечения плоскостей параллельны. Так как основания куба параллельны, . Следовательно, точка   - середина ребра  .

, , следовательно, четырехугольник - параллелограмм.

Докажем, что четырехугольник  - прямоугольник.

Ребро перпендикулярно грани , следовательно, перпендикулярно  любой прямой, лежащей в этой грани, в частности, прямой . То есть . Следовательно, сечение   - прямоугольник.

Найдем площадь сечения.

По условию, ребро куба равно 4.

Тогда по теореме Пифагора из треугольника  

Отсюда  

Ответ: