Задание 14 из из реального ЕГЭ по математике 2.06.2017 (2)

а) (так как  по условию), , так как призма прямая, и боковые ребра перпендикулярны плоскости основания. Отсюда ребро  перпендикулярно плоскости . Тогда - проекция наклонной  на плоскость .

Так как по условию , по теореме о трех перпендикулярах .

Боковые грани прямой призмы- прямоугольники, следовательно, четырехугольник - прямоугольник с перпендикулярными диагоналями. Следовательно  четырехугольник - квадрат. Отсюда .

б) Найдем расстояние между прямыми и , если .

, следовательно, прямая параллельна плоскости . Отсюда расстояние между прямыми и равно расстоянию от любой точки прямой , например, от точки  до плоскости :

Расстояние от точки  до плоскости  равно высоте пирамиды , опущенной из вершины  на основание .

- высота пирамиды, следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка .

Найдем объем пирамиды .

Найдем площадь треугольника .

- из треугольника .

- из треугольника .

- из треугольника .

Ответ:

 

б') Найдите расстояние между прямыми и , если .

Проведем прямую , параллельную . Для этого достроим призму следующим образом:

Прямая  параллельна плоскости , поэтому расстояние от точки  до плоскости  равно расстоянию между прямыми и .

Введем систему координат,  найдем уравнение плоскости  и координаты точки .

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле

   

Выпишем координаты точек, которые задают плоскость :

; ; .

Так как плоскость проходит через начало координат, .Подставим координаты точек и в уравнение плоскости .

Получим:

Отсюда получаем: .

Подставляем в уравнение плоскости :

Умножим обе части на и разделим на . Получим уравнение плоскости :

.

Координаты точки .

Ответ:  .