Решение.
А) Построим сечение пирамиды 
плоскостью 
.
Проведем через точку 
отрезок 
. Так как - середина 
, 
- средняя линия треугольника 
. (1)
Проведем через точку 
отрезок 
. Так как - середина 
, 
- средняя линия треугольника 
. (2)
Таким образом, 
- средняя линия треугольника 
:
Четырехугольник 
- искомое сечение.
Докажем, что четырехугольник - прямоугольник.
(из (1) и (2), следовательно, четырехугольник - параллелограмм. Докажем, что диагонали четырехугольника равны: 
. Рассмотрим треугольники 
и 
:
, как половины равных боковых ребер,
, как медианы в правильном треугольнике,
- так как в правильной пирамиде боковые ребра наклонены к основанию под одинаковым углом.
Следовательно, 
и отсюда .
Б) Найдем расстояние от точки 
до плоскости четырехугольника . Так как ребро 
параллельно плоскости , расстояние от любой точки прямой равно расстоянию от точки до плоскости четырехугольника .
Докажем, что плоскость 
(
- высота и медиана треугольника 
) перпендикулярна плоскости четырехугольника :
, следовательно 
.
Если прямая 
перпендикулярна плоскости 
, то любая плоскость, содержащая прямую , будет перпендикулярна плоскости . В нашем случае плоскость четырехугольника , содержащая прямую 
, перпендикулярна плоскости .
- линия пересечения плоскость четырехугольника и плоскости . Это средняя линия треугольника . Опустим из точки 
высоту 
на :
Расстояние от точки 
до равно расстоянию от точки до плоскости четырехугольника , и равно половине высоты .
Рассмотрим треугольник :
(по условию)
- из треугольника 
.
- из треугольника 
.
По теореме косинусов 
Ответ: 
точка 
- середина 
, точка 
- середина 
. Через точки 
проведена плоскость 
.
до плоскости 
.
Инна Владимировна, решение ваше как всегда обстоятельное и доступное. А координатным методом не пробовали решать? По-моему, тоже нормально будет, особенно 2-я часть задачи
Наверное можно, я не пробовала. Не люблю координатный метод в треугольной пирамиде)