Задание 14. В правильной четырехугольной призме 
точка 
делит боковое ребро 
в отношении 
. Через точки 
и проведена плоскость 
, параллельная прямой 
и пересекающая ребро 
в точке 
.
Решение.
Задание 14 из пробного варианта, С-Петербург
Построим сечение призмы плоскостью .
1) Проведем отрезок 
2) Так как линии пересечения секущей плоскостью параллельных граней прямоугольного параллелепипеда параллельны, линия 
пересечения плоскостью грани 
параллельна 
:
Задание 14 из пробного варианта, С-Петербург
Опишем построение отрезка :
, следовательно, 
, 
(по построению), следовательно, 
.
- по построению, следовательно, 
( по двум катетам), поэтому 
, и отсюда 
.
Докажем, что четырехугольник 
- искомое сечение. Отрезок является стороной сечения, а его диагональ , следовательно, сечение проходит через точки и и плоскость сечения параллельна (Если прямая параллельна любой прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна плоскости.)
Задание 14 из пробного варианта, С-Петербург
Так как 
, следовательно, 
.
Докажем, что четырехугольник - ромб. Противоположные стороны четырехугольника параллельны, следовательно, это параллелограмм.
(по двум катетам), следовательно, 
, и четырехугольник - ромб.
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей.
- из прямоугольного треугольника 
.
Диагональ 
найдем из прямоугольного треугольника 
:
Задание 14 из пробного варианта, С-Петербург
, 
Ответ: 
точка 
делит боковое ребро 
в отношении 
. Через точки 
и 
, параллельная прямой 
и пересекающая ребро 
в точке 
.
.
.
Добавить комментарий