В этой статье вы найдете решение задачи по стереометрии из тренировочной работы №164 А. Ларина.
В основании прямой призмы 
лежит ромб 
с диагоналями 
и 
. Боковое ребро 
равно 
. На ребре отмечена точка 
так, что 
.
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости 
.
б) Найдите объем пирамиды 
.
Решение.
И.В. Фельдман, репетитор по математике.
Задание 14. В правильное треугольной призме 
сторона основания 
равна 6, а боковое ребро 
равно 3. На ребре 
отмечена точка 
так, что 
. Точки 
и - середины ребер и 
соответственно. Плоскость 
параллельна прямой 
и содержит точки и .
а) Докажите, что прямая 
перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объем пирамиды, вершина которой точка , а основание - сечение данной пирамиды плоскостью .
Решение.
И.В. Фельдман, репетитор по математике
Задание 14. Дана правильная треугольная пирамида 
.
а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку ребра 
перпендикулярно высоте 
основания пирамиды.
б) Найдите площадь этого сечения, если каждое ребро данной пирамиды равно 12 и 
.
Решение.
И.В. Фельдман, репетитор по математике
Задание 14. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда , равная радиусу основания, а в другом его основании проведен диаметр 
, перпендикулярный . Построено сечение 
, проходящее через прямую перпендикулярно прямой так, что точка 
и центр основания цилиндра, в котором проведен диаметр , лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
б) Найдите объем пирамиды 
Решение.
Задание 14. В треугольной пирамиде двугранные углы при ребрах 
и 
равны. 
а) Докажите, что 
.
б) Найдите объем пирамиды, если двугранные углы при и равны 60˚.
Решение.
Задание 14. В правильной треугольной пирамиде точка 
- середина , точка - середина . Через точки и параллельно 
проведена плоскость 
.
А) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является прямоугольником.
Б) Найдите расстояние от точки 
до плоскости , если известно, что 
.
Решение.
Задание 14. В правильной четырехугольной призме точка делит боковое ребро в отношении 
. Через точки 
и проведена плоскость 
, параллельная прямой и пересекающая ребро 
в точке .
а) Докажите, что плоскость делит ребро в отношении 
.
б) Найдите площадь сечения, если известно, что 
.
Решение.
Задание 14. Дан прямой круговой конус с вершиной . Осевое сечение конуса - треугольник с углом 120˚ при вершине . Образующая конуса равна 
. Через точку проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.
а) Докажите, что получившийся в сечении треугольник - тупоугольный.
б) Найдите угол при основании этого треугольника.
Решение.
Задание 13.
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [
].
Решение.
Задание 14.
В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник 
со стороной, равной 6. Боковое ребро пирамиды равно 4. Через такую точку ребра , что 
, параллельно прямым и 
проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Решение.
Рассмотрим решение Задания 14 из Тренировочной работы МИОО 18 декабря 2015 года.
Все рёбра правильной треугольной пирамиды 
с вершиной равны 9.
Основание 
высоты 
этой пирамиды является серединой отрезка 
, — середина ребра , точка лежит на ребре так, что 
.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью 
— равнобокая трапеция.
б) Вычислите длину средней линии этой трапеции. Далее
