Задание 14. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда 
, равная радиусу основания, а в другом его основании проведен диаметр 
, перпендикулярный . Построено сечение 
, проходящее через прямую перпендикулярно прямой так, что точка 
и центр основания цилиндра, в котором проведен диаметр , лежат с одной стороны от сечения.
а) Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
Решение.
Построим сечение .
Проведем через точки 
и 
образующие 
и 
:
Докажем, что сечение перпендикулярно .
, следовательно, четырехугольник - параллелограмм, и 
, 
.
, по условию.
, следовательно, 
Отсюда прямая перпендикулярна плоскости четырехугольника .
Докажем, что четырехугольник - прямоугольник.
, следовательно, четырехугольник - прямоугольник, и его диагонали равны.
б) Найдем объем пирамиды 
:
Так как прямая перпендикулярна плоскости четырехугольника , 
- высота пирамиды, четырехугольник - ее основание. Найдем длину .
, треугольник 
- равносторонний, 
- высота и медиана, 
. По теореме Пифагора 
Ответ: 
, равная радиусу основания, а в другом его основании проведен диаметр 
, перпендикулярный 
, проходящее через прямую 
и центр основания цилиндра, в котором проведен диаметр 
Уважаемая Инна Владимировна. Большое спасибо за материалы варианта 509, 27.04.16. Ваши решения мне очень понравились. Позволю сделать несколько комментариев к ним.
1.В задании 5 я бы решала уравнение без проверки, записав равносильный переход.
2. В задании 13 может следует указать оси синусов и косинусов на рисунках.
3. В задании 14:1)В условии пункта б)…САВNM, пропущена буква С.
2)Опечатка: надо СД перпендикулярна АМ, так как образующие прямого цилиндра перпендикулярны основаниям.
3)В пункте б) на рис.2 отсутствует ребро ВС.
С уважением Зина.
Большое спасибо! Исправила.
Уважаемая Инна Владимировна, здесь опечатка, MN не может быть перпендикулярна АВ(они лежат в паралл.плоскостях оснований цилиндра), MN перпендик. AM.
Конечно, спасибо!
Когда решала не получилось доказать что МN перпендикулярно АМ. У вас написано что АМ и ВN — образующие. Этого достаточно чтобы оценил эксперт? Еще в условии дано что сечение ABMN перпендикулярно CD, а у вас потом это доказывается
ОБразующие перпендикулярны основанию, так как это прямой цилиндр. В задаче обосновывается построение сечения, поэтому нужно доказать, что оно удовлетворяет условию задачи.