Рассмотрим решение Задания 14 из Тренировочной работы МИОО 18 декабря 2015 года.
Все рёбра правильной треугольной пирамиды 
с вершиной 
равны 9.
Основание 
высоты 
этой пирамиды является серединой отрезка 
, 
— середина ребра 
, точка 
лежит на ребре 
так, что 
.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью 
— равнобокая трапеция.
б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.
1. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки 
.
Так как точки 
и принадлежат плоскости сечения, прямая 
также принадлежит плоскости сечения. Проведем эту прямую. Пусть прямая пересекает плоскость
в некой точке 
.
Определим, где расположена точка. Для этого рассмотрим треугольник 
:
По условию 
, следовательно, отрезки и 
- медианы треугольника , они пересекаются в точке , которая лежит и в плоскости основания и на прямой . Точка принадлежит и плоскости основания и плоскости искомого сечения, и как точка пересечения медиан делит отрезок в отношении 2:1, считая от точки 
.
Проведем прямую 
. Она лежит и в плоскости основания, и в плоскости сечения. Обозначим буквой 
точку пересечения этой прямой с ребром 
:
Докажем, что 
. Для этого рассмотрим треугольник 
и докажем, что 
Итак: 
;
Следовательно, 
, 
, следовательно, 
. Отсюда 
, и 
Получили, что 
Следовательно, треугольники и 
подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними, и отсюда 
. Следовательно, .
Заметим, что отсюда следует, что 
. (1)
Итак, плоскость сечения пересекает грани 
и 
, проходит через прямую 
, которая лежит в грани и параллельна общему ребру 
. Следовательно, сторона сечения, лежащая в грани проходит через точку параллельно прямой . (Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.) То есть 
(2):
Таким образом, четырехугольник 
- искомое сечение, которое является трапецией. (из (2))
Докажем, что эта трапеция равнобедренная. Мы доказали, что (1)
, следовательно, 
.
По условию, все грани данной пирамиды - правильные треугольники, следовательно, 
.
Следовательно, 
по двум сторонам и углу между ними. Отсюда 
.
Следовательно, четырехугольник - равнобедренная трапеция.
2. Найдем ее среднюю линию.
- средняя линия треугольника , следовательно, 
Отсюда средняя линия трапеции равна 
Ответ: 
Не могли бы продемонстрировать как же построить это сечение на экзамене?
Точно так же, как в решении.
Спасибо большое, Инна! Замечательные разъяснения!
Спасибо большое,Инна, за все ваши решения, разработки! Очень удобно и понятно!
Здесь ,конечно все приятно и точка К ,и отношения ,и линия пересечения LKN // DB ,и решение без решения. Я ,конечно клюнул на решение, опустил два перпендикуляра из точек L и K на DB ,нашел их,понял ,что они равны и так сказал ,что LKN // DB. А остальное ,дело техники. Мне показалось ,что это ,как сиграть партию в шахматы с Браяном —на силе превосходный,или сиграть В.Ковтуна —Горная река. По этому ,спасибо Вам,Ирина Владимировна!!!