Задание 14 из Пробного варианта, г. Брянск (2016 г.)

 

а) Построим сечение пирамиды плоскостью согласно условиям задачи.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости. Нам нужно провести через точку две прямые, перпендикулярные  .

Так как  -  высота треугольника , . Проведем через точку прямую параллельно . Отсюда .

- высота пирамиды, точка - точка пересечения медиан, высот и биссектрис треугольника .  перпендикулярна плоскости , следовательно, .

Опустим из точки перпендикуляр   на плоскость . Так как - наклонная, - ее проекция, .

, следовательно, .

Итак, плоскость, проходящая через точку перпендикулярно   содержит прямые и .

Проведем через точку   прямую параллельно . Четырехугольник   - искомое сечение:

б) Найдем площадь четырехугольника .

, следовательно, четырехугольник - трапеция. - ее высота.

 

, , , отсюда

Из треугольника   найдем

По теореме Пифагора из треугольника :

, отсюда

Из подобия этих же треугольников получим (1)

Чтобы найти , большее основание трапеции , сделаем выносной чертеж:

Найдем, в каком отношении точка делит сторону . Проведем через точку прямую  .

 

По теореме Фалеса и из (1)

По свойству точки пересечения медиан

Тогда по теореме Фалеса 

Пусть  , тогда .

Из подобия треугольников  и  получим , отсюда  .

Тогда площадь трапеции  равна:

Ответ:

Решение этой задачи с помощью метода координат. (Сергей Симутин)

Задание 14 Брянск